深层页岩体积压裂缝网动态渗透率模型及其应用

图1 缝网改造区渗流示意

Fig.1 Schematic diagram of seepage flow in fracture network stimulated area

对裂缝长度分解：

a_{x i} = a_{i} \cdot |c o s θ_{i}|

(1)

a_{y i} = a_{i} \cdot s i n θ_{i}

(2)

\bar{a_{x}} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} a_{x i}

(3)

式中： $a_{x i}$ 为第i条裂缝在x方向长度分量，m； $a_{i}$ 为第i条裂缝长度，m； $θ_{i}$ 为第i条裂缝与x方向夹角，°； $\bar{a_{x}}$ 为x方向裂缝长度平均值，m； $a_{y i}$ 为第i条裂缝在y方向长度分量，m； $\bar{a_{y}}$ 为y方向裂缝长度平均值，m。

对裂缝宽度分解：

b_{x i} = b_{i} \cdot s i n θ_{i}

(4)

b_{y i} = b_{i} \cdot |c o s θ_{i}|

(5)

{[\begin{matrix} b_{x m a x} & b_{y m a x} \\ b_{x m i n} & b_{y m i n} \end{matrix}]}_{2 \times 2} = {[\begin{matrix} m a x \{b_{x i}\} & m a x \{b_{y i}\} \\ m i n \{b_{x i}\} & m i n \{b_{y i}\} \end{matrix}]}_{2 \times 2}

(6)

式中：b_xi为第i条裂缝在x方向宽度分量，m；b_i为第i条裂缝宽度，m；b_yi为第i条裂缝在y方向宽度分量，m；b_x_max为x方向最大缝宽，m；b_x_min为x方向最小缝宽，m；b_y_max为y方向最大缝宽，m；b_y_min为y方向最小缝宽，m。

2 缝网表观渗透率

为了研究深层页岩气在复杂缝网中的渗流机理，本文基于流量等效原理将二维复杂缝网正交分解为x、y方向的平行裂缝簇。从单裂缝出发，考虑地应力变化对缝宽变化的影响^［16］，通过页岩气的黏性流、克努森扩散、表面扩散建立单缝流量方程。通过分形理论将尺度升级到平行裂缝簇，耦合得到缝宽动态变化下的缝网渗透率计算模型。

2.1　单缝流量方程

地应力变化引起的缝宽变化由裂缝压缩性、基质压缩性、气体解吸附性三部分共同作用产生，所以由压力变化导致的页岩裂缝宽度总变化量为^［19-21］：

Δ b_{t} = b_{0} c_{f} (p_{p} - p_{p 0}) + \frac{a_{0} (1 - 2 υ)}{E} (p_{p} - p_{p 0}) -

\frac{a_{0} S_{L} p_{L}}{(p_{L} + p_{p 0}) (p_{L} + p_{p})} (p_{p} - p_{p 0})

(7)

式中：E为岩石杨氏模量，MPa； υ为泊松比，无量纲; $c_{f}$ 为岩石压缩系数，MPa^-1; $p_{L}$ 为Langmuir 压力，MPa; $p_{p}$ 为地层压力，MPa; $p_{p 0}$ 为初始地层压力，MPa；λ为分子自由程，m。

考虑页岩裂缝宽度变化的气体克努森数表达为：

K_{n b} = \frac{λ}{b + Δ b_{t}}

(8)

当气体克努森数 $K_{n b}$ <10^-3，页岩气体满足黏性流动，流量方程可用Hagen-Poiseuille方程表达为：

J_{v s} = - A (ζ_{b}) \frac{ϕ}{τ} \frac{a (b + Δ b_{t})^{3}}{12 μ_{r}} \frac{p M}{R T} (1 + α K_{n b}) \cdot (1 + \frac{6 K_{n b}}{1 - m K_{n b}}) \frac{d p}{d a}

(9)

A (ζ_{b}) = 1 - \frac{192}{ζ_{b} π^{5}}

\sum_{i = 1,3, 5}^{\infty} \frac{t a n h (i π ζ_{b} / 2)}{i^{5}}

(10)

式中： $J_{v s}$ 为考虑页岩缝宽动态变化的裂缝气体滑脱流动的质量流量，kg/s； $A (ζ_{b})$ 为黏性流动的裂缝截面形状因子，无因次； $τ$ 为裂缝迂曲度，无因次。

当 $K_{n b}$ ≥10，页岩气流动满足克努森扩散，则气体扩散量用克努森方程表达为：

J_{k} = - B (ζ_{b}) \frac{ϕ}{τ ρ} (b + Δ b_{t})^{3} {(\frac{M}{2 π R T})}^{0.5} \frac{d p}{d a}

(11)

B (ζ_{b}) = |{ζ_{b}}^{2} L n (\frac{1}{ζ_{b}} + \sqrt[]{1 + \frac{1}{{ζ_{b}}^{2}}}) + ζ_{b} L n (ζ_{b} + \sqrt[]{1 + {ζ_{b}}^{2}}) - \frac{({ζ_{b}}^{2} {+ 1)}^{3 / 2}}{3} + \frac{1 + {ζ_{b}}^{3}}{3}|

(12)

式中： $J_{k}$ 为考虑缝宽动态变化和气体黏度变化的裂缝气体克努森流体积流量，m³/s； $B (ζ_{b})$ 为克努森流的裂缝形状因子，无因次。

页岩气体在小尺度裂缝中流动时同时还伴随着沿吸附壁面的运移，即表面扩散作用，气体表面扩散流量方程为：

J_{s u r f a c e} = - a b \frac{M D_{s}}{ρ} \frac{C_{s m a x} p_{L}}{(p + p_{L})^{2}} \frac{d p}{d a}

(13)

式中： $J_{s u r f a c e}$ 为气体表面扩散的体积流量，m³/s；D_s为表面扩散系数，m²/s；C_smax为表面吸附气最大浓度，mol/m³。

2.2　平行裂缝簇流量方程

基于储层裂缝具有高度的自相似性，通过分形理论对单裂缝进行尺度升级，从微观单裂缝求和得到宏观裂缝网络的总流量方程^［12］。

根据分形理论，缝网中的裂缝宽度大于等于b的裂缝条数表示为^［22］：

N = {(\frac{b_{m a x}}{b})}^{D_{f}}

(14)

对缝宽求导得：

\frac{d N}{d b} = - D_{f} b_{m a x}^{D_{f}} b^{- (D_{f} + 1)}

(15)

式中：N为分形集合中裂缝宽度大于等于b的裂缝条数，无量纲；b_max为分形集合中最大裂缝宽度，m；D_f为裂缝宽度分形维数，无量纲。

平行多裂缝页岩气流动体积流量可表示为：

Q_{i} = - \int_{b_{m i n}}^{b_{m a x}} J_{i} d N

(16)

式中： $i \in \{v s, k, s u r f a c e\}$ ，i表示流动机理。

将式（9）、式（11）、式（13）、式（14）、式（15）代入式（16）中可以分别得到页岩气黏性流、克努森扩散、表面扩散的平行裂缝簇总流量方程如下：

\begin{array}{l} Q_{v s} = - \int_{b_{m i n}}^{b_{m a x}} J_{v s} d N = - \frac{A (ζ_{b}) D_{f} b_{m a x}^{D_{f}}}{12 μ_{r}} \frac{a ϕ}{τ ρ} \frac{p M}{R T} \frac{d p}{d a} \int_{b_{m i n}}^{b_{m a x}} (b + Δ b_{t})^{3} b^{- (D_{f} + 1)} d b \\ = - \frac{A (ζ_{b}) D_{f} b_{m a x}^{D_{f}}}{12 μ_{r}} \frac{a ϕ}{τ ρ} \frac{p M}{R T} \frac{d p}{d a} [\frac{Δ b_{t}^{3} (b_{m a x}^{- D_{f}} - b_{m i n}^{- D_{f}})}{- D_{f}} + \frac{3 Δ b_{t}^{2} (b_{m a x}^{- D_{f} + 1} - b_{m i n}^{- D_{f} + 1})}{- D_{f} + 1} \\ + \frac{3 Δ b_{t} (b_{m a x}^{- D_{f} + 2} - b_{m i n}^{- D_{f} + 2})}{- D_{f} + 2} + \frac{b_{m a x}^{- D_{f} + 3} - b_{m i n}^{- D_{f} + 3}}{- D_{f} + 3}] \end{array}

(17)

\begin{array}{l} Q_{k} = - \int_{b_{m i n}}^{b_{m a x}} J_{k} d N = - B (ζ_{b}) D_{f} b_{m a x}^{D_{f}} \frac{ϕ}{τ ρ} {(\frac{M}{2 π R T})}^{0.5} \frac{d p}{d a} \int_{b_{m i n}}^{b_{m a x}} (b + Δ b_{t})^{3} b^{- (D_{f} + 1)} d b \\ = - B (ζ_{b}) D_{f} b_{m a x}^{D_{f}} \frac{ϕ}{τ ρ} {(\frac{M}{2 π R T})}^{0.5} \frac{d p}{d a} [\frac{Δ b_{t}^{3} (b_{m a x}^{- D_{f}} - b_{m i n}^{- D_{f}})}{- D_{f}} + \frac{3 Δ b_{t}^{2} (b_{m a x}^{- D_{f} + 1} - b_{m i n}^{- D_{f} + 1})}{- D_{f} + 1} \\ + \frac{3 Δ b_{t} (b_{m a x}^{- D_{f} + 2} - b_{m i n}^{- D_{f} + 2})}{- D_{f} + 2} + \frac{b_{m a x}^{- D_{f} + 3} - b_{m i n}^{- D_{f} + 3}}{- D_{f} + 3}] \end{array}

(18)

\begin{array}{l} Q_{s u r f a c e} = - \int_{b_{m i n}}^{b_{m a x}} J_{s u r f a c e} d N = - a \frac{M D_{f} b_{m a x}^{D_{f}} D_{s}}{ρ} \frac{C_{s m a x} p_{L}}{(p + p_{L})^{2}} \frac{d p}{d a} \int_{b_{m i n}}^{b_{m a x}} b^{- D_{f}} d b \\ = - a \frac{M D_{f} b_{m a x}^{D_{f}} D_{s}}{ρ} \frac{C_{s m a x} p_{L}}{(p + p_{L})^{2}} \frac{d p}{d a} \frac{(b_{m a x}^{- D_{f} + 1} - b_{m i n}^{- D_{f} + 1})}{- D_{f} + 1} \end{array}

(19)

式中：Q_vs为平行裂缝簇黏性流动总流量，m³/s；Q_k为平行裂缝簇克努森流动总流量，m³/s；Q_surface为平行裂缝簇表面扩散总流量，m³/s。

综合考虑黏性流、克努森扩散、表面扩散和缝宽动态变化的平行裂缝簇气体总流量方程为：

Q_{t} = Q_{v s} + Q_{k} + Q_{s u r f a c e}

(20)

式中：Q_t为考虑缝宽动态变化的平行裂缝簇气体总流量，m³/s。

2.3　非均质缝网等效渗透率

深层页岩气流动满足广义达西定律^［18］：

Q_{t} = - \frac{K \cdot A_{p} \cdot Δ p}{μ \cdot L}

(21)

对于矩形裂缝，同时考虑孔隙度对裂缝截面积的影响，分形截面积 $A_{p}$ 为^［23］：

A_{p} = - \int_{b_{m i n}}^{b_{m a x}} \frac{a b}{ϕ} d N = \frac{a b_{m a x}}{ϕ} \frac{D_{f}}{(1 - D_{f})} [1 - {(\frac{b_{m a x}}{b_{m i n}})}^{D_{f} - 1}]

(22)

D_{f} = 2 + \frac{L n ϕ}{L n \frac{b_{m a x}}{b_{m i n}}}

(23)

式中：A_p为分形裂缝总面积，m²； $ϕ$ 为裂缝孔隙度，无量纲。

将式（22）、式（23）、式（24）、式（27）、式（29）、式（30）代入到式（28）中可得到平行裂缝簇渗透率表达式如下：

K = - \frac{μ ϕ (1 - D_{f})}{a b_{m a x} D_{f} [1 - {(\frac{b_{m a x}}{b_{m i n}})}^{D_{f} - 1}]} (Q_{v s} + Q_{k} + Q_{s u r f a c e})

(24)

对于x方向和y方向的2簇平行裂缝，分别将 $b_{x m a x}$ 、 $b_{x m i n}$ 、 $\bar{a_{x}}$ ； $b_{y m a x}$ 、 $b_{y m i n}$ 、 $\bar{a_{y}}$ 等参数分别代入式（14）—式（24），可以得到2个方向各自的渗透率 $K_{x}$ 、 $K_{y}$ ，缝网等效表观渗透率可表示为^［24］：

K_{f} = \frac{\sqrt[]{K_{x}^{2} + K_{y}^{2}}}{2}

(25)

式中：K_f为等效缝网表观渗透率，m²；K_x为x方向平行裂缝簇渗透率，m²；K_y为y方向平行裂缝簇渗透率，m²。

通过对正交平行裂缝簇渗透率的耦合，得到缝网等效表观渗透率模型。该模型通过流量等效原理解决了非均质缝网中裂缝的分布问题，同时综合考虑了页岩气的黏性流、克努森扩散、表面扩散和缝宽动态变化，可以更好地对深层页岩气藏体积压裂后缝网改造区的渗流问题进行有效性评价和动态研究。

3 模型验证及其应用

基于流量等效原理和分形理论，本文建立了一个复杂非均质缝网渗透率模型，该模型充分考虑了页岩气在缝网中的黏性流、克努森扩散、表面扩散，同时考虑应力敏感引起的缝宽动态变化，可以更完整地表征深层页岩气藏缝网改造区的渗透率动态变化。为了验证模型的可靠性，本文将该模型与实验结果和理论模型进行对比，本文模型计算基础参数如表1所示。

表1 缝网渗透率计算基础参数

Table 1 Basic parameter table of fracture network permeability calculation

参数名	符号	单位	数值	参数名	符号	单位	数值
初始裂缝宽度	b₀	m	5×10^-6	裂缝迂曲度	τ	—	1.2
初始裂缝高度	ɑ₀	m	5×10^-3	气体滑脱常数	m	—	-1
微裂缝纵横比	ζ	—	1 000	稀有气体效应系数	α	—	1.5
初始裂缝压缩系数	c₀	Pa^-1	0.104×10^-6	分形维数	D_f	—	1.37
裂缝压缩系数变化速率	δ	Pa^-1	0.44×10^-6	最大裂缝宽度	b_max	m	2×10^-6
岩石泊松比	υ	—	0.3	最小裂缝宽度	b_min	m	2×10^-9
岩石杨氏模量	E	Pa	1×10¹⁰	裂缝高度	ɑ	m	1.5×10^-4
Langmuir应变	S_L	—	0.002 51	裂缝孔隙度	$ϕ$	%	10
气体摩尔质量	M	kg/mol	1.6×10^-2	裂缝压缩系数	c_f	Pa^-1	0.027×10^-6
理想气体黏度	μ	Pa·s	1.18×10^-5	初始地层压力	P_p0	Pa	30×10⁶
标况下气体摩尔体积	V_std	m³/mo1	22.4×10^-3	最终地层压力	P_final	Pa	30×10⁶
气体分子密度	ρ	kg/m³	0.655	气体常数	R	J/（mol·K）	8.314
表面吸附气最大浓度	C_smax	mol/m³	25 040	温度	T	K	323
Langmuir压力	P_L	Pa	2.46×10⁶	气体摩尔质量	M	kg/mol	1.95×10^-2
表面扩散系数	D_s	m²/s	2.89×10^-10	理想气体黏度	μ	Pa·s	1.18×10^-5

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3.1　实验验证

朱维耀等^［25］曾选取龙马溪组页岩岩样，采用巴西劈裂法进行人工造缝，利用覆压孔渗仪对压裂前后的渗透率进行测量，此处以本文模型计算结果与其进行对比验证，岩样基本参数如表2所示。

表2 岩样基础参数

Table 2 Basic parameters of rock sample

长度/cm

直径/cm

压裂前渗透率

/（10^-3μm²）

压裂后渗透率

/（10^-3μm²）

4.57

2.53

0.118 6

50.60

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通过对岩样的CT图片进行统计得到缝网中每条裂缝的坐标、几何参数、裂缝条数如表3所示。

表3 岩样每条裂缝具体参数统计

Table 3 Statistical table of specific parameters of each fracture of the rock sample

裂缝	缝长a_i/cm	缝宽b_i/μm	角度θ_i/（°）	裂缝	缝长a_i/cm	缝宽b_i/μm	角度θ_i/（°）
1	0.66	12.5	115	7	1.20	62.3	129
2	1.66	36.7	113	8	0.60	81.7	96
3	1.66	453	50	9	0.52	4.3	46
4	0.78	212	71	10	1.44	10.0	47
5	2.22	41.8	5	11	1.18	207.2	52
6	0.10	405.9	161

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通过对每条裂缝进行正交分解得到2簇平行裂缝，将表3的统计结果代入式（1）—式（6）可以得到 ${\bar{a}}_{x}$ 为0.68 cm， ${\bar{a}}_{y}$ 为0.75 cm， $b_{x m i n}$ 为3.1 μm， $b_{x m a x}$ 为347 μm， $b_{y m i n}$ 为3 μm， $b_{y m a x}$ 为383.8 μm；并在该统计结果下利用本文模型计算x方向、y方向、耦合等效渗透率值分别为36.82×10^-3μm²、40.53×10^-3μm²、54.76×10^-3μm²；实验测得的渗透率值为50.6×10^-3μm²，计算结果与实验结果相对误差为8.22%，这说明本文建立的利用正交分解处理复杂缝网的方法具有较好的适用性，能较好地应用于实际的缝网渗透率计算。

3.2　理论模型验证

LI等^［21］同样考虑应力敏感引起的动态缝宽变化，建立了简单平行多裂缝的渗透率模型，而基于本文模型建立的复杂缝网的等效处理方法，并进一步耦合页岩气在缝网中的多种流动机理得到一个更为全面的复杂缝网渗透率动态表征模型。为了充分说明本文模型的准确性和适用性，将本文计算模型与LI等^［21］简单缝网渗透率模型和FINK等^［26］实验数据进行对比验证，对比结果如图2所示。

图2

图2 本文模型理论验证对比

Fig.2 Model verification comparison chart of this paper

由图2可知，在较高地层压力下，随着地层压力降低，由于应力敏感作用，缝网表观渗透率呈现轻微下降趋势，与LI模型和实验数据一致；在低地层压力下，随着地层压力降低，缝网渗透率迅速增大，这是由于低压下克努森效应、表面扩散对页岩气流动产生很大影响。由于LI模型只考虑了页岩气的黏性流，没有进一步耦合页岩气流动的克努森效应和表面扩散效应，在低压下本文模型渗透率值要略大于李模型，与实验结果更为接近。

3.3　模型应用

图3（a）表明，在小尺度缝网中，表面扩散作用对页岩气流动影响相当明显。随着地层压力减小，黏性流比重逐渐减小，克努森扩散比重先增大后减小，表面扩散作用比重呈增大趋势且增大幅度越来越大。该尺度下，在压力小于3 MPa时，表面扩散作用占据主导作用，而在高地层压力时，页岩气流动主要以克努森扩散和黏性流为主；图3（b）表明，随着缝网尺度的增大，表面扩散作用所占比重有了较大下降，其仅在低地层压力下对缝网渗透率有一定贡献，在地层压力大于10 MPa时，可以忽略不计。黏性流和克努森扩散随地层压力下降，对缝网渗透率的贡献呈现此消彼长趋势，在高地层压力时黏性流占主导地位，是此尺度条件下的页岩气流动的主要方式。

图3

图3 不同流动机理对缝网渗透率贡献

Fig.3 Different flow mechanisms contribution to the permeability of the fractured network

由图4可知，在缝网裂缝孔隙 $ϕ$ =10%和 $b_{m a x} / b_{m i n}$ =1 000的情况下，缝宽尺度每增大1个数量级的缝网渗透率差异显著；不同缝网尺度的渗透率差异随缝网尺度减小而变小。此外，在较大尺度，渗透率随地层压力降低而不断减小；在缝宽较小的微纳米尺度，缝网渗透率呈现先减小，后增大的趋势。这是由于在小尺度低压力下，表面扩散作用对渗透率的贡献作用占主导地位。

图4

图4 不同尺度下缝网渗透率计算结果

Fig.4 Fracture network permeability for different scales

图5（a）表明，在缝网裂缝孔隙度 $ϕ$ =10%和最小缝宽一定的情况下，最大缝宽对渗透率影响巨大，最大缝宽每增大1个数量级，缝网渗透率增长接近100倍；图5（b）表明，最小缝宽对渗透率影响相对较小；最小缝宽尺度较大时，最小缝宽增大1个数量级，缝网渗透率增长接近2倍，但在低压下渗透率差异不大；同时尺度较小时，由于表面扩散的作用增强，其渗透率有小幅度的上升，在低压（5 MPa）下甚至比更大尺度时的渗透率大。

图5

图5 不同缝宽下缝网渗透率计算结果

Fig.5 Fracture network permeability for different fracture widths

图6表明，在缝网尺度不变时，裂缝孔隙度对缝网渗透率影响十分显著，裂缝孔隙度增大1倍，缝网表观渗透率增加约1.7倍。这是由于裂缝孔隙度越大，缝网分形维数越大，缝网分布越密集，页岩气的流动通道越多，其渗透率值也越高。

图6

图6 不同裂缝孔隙度对缝网渗透率的影响

Fig.6 Different fracture porosity effect on fracture network permeability

4 结论

（1）本文建立了考虑缝宽动态变化的非均质缝网表观渗透率模型，通过将本文模型与实验数据和理论模型结果对比表明：CT扫描人工造缝岩心和蒙特卡洛随机建模并统计裂缝参数具有合理性；也充分验证了基于流量等效原理分解非均质缝网、耦合页岩气不同流动机理、分形理论尺度升级的可靠性和准确性。

（2）页岩气在小尺度缝网中以表面扩散为主，随着地层压力增大，克努森扩散和黏性流逐渐占领主导地位，表面扩散比重随地层压力增大而减小；随着缝网尺度增大，表面扩散比重下降，表面扩散在地层压力大于10 MPa时可忽略，页岩气的流动机理为黏性流和克努森扩散；大尺度缝网克努森扩散效应随地层压力增大，先增强后减弱，表面扩散和黏性流呈此消彼长的趋势。

（3）小尺度缝网渗透率随地层压力增大先减小后增大，大尺度缝网渗透率与地层压力成正比。小尺度缝网在低压（5 MPa）时表面扩散对渗透率的影响增强，导致在该尺度下的渗透率值有小幅度增大且略大于大尺度缝网；在不同最大缝宽的条件下，最大缝宽增大10倍，缝网渗透率增长接近100倍；在不同最小缝宽的条件下，渗透率增大只在最小缝宽较大时明显。此外，裂缝孔隙度增大1倍，缝网表观渗透率增加1.7倍。

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文献年度倒序

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