天然气地球科学, 2021, 32(1): 109-118 doi: 10.11764/j.issn.1672-1926.2020.11.006

天然气开发

页岩气储层水力压裂扩展有限元模拟方法及应用

张瑛堃,1, 陈尚斌,1,2, 李学元1, 王慧军1

1.中国矿业大学资源与地球科学学院，江苏 徐州 221008

2.煤层气资源与成藏过程教育部重点实验室，江苏 徐州 221008

Hydraulic fracturing simulation technology of shale gas reservoir and application of extended finite element method

ZHANG Ying-kun,1, CHEN Shang-bin,1,2, LI Xue-yuan1, WANG Hui-jun1

1.School of Resources and Geosciences，China University of Mining and Technology，Xuzhou 221008，China

2.Key Laboratory of the Ministry of Education on Coalbed Methane Resources and Accumulation Process，Xuzhou 221008，China

通讯作者: 陈尚斌（1983-），男，甘肃通渭人，教授，博士生导师，主要从事页岩气地质研究.E-mail: shangbinchen@163.com.

收稿日期: 2020-08-20   修回日期: 2020-10-29   网络出版日期: 2020-12-31

基金资助: 国家自然科学基金.  41772141
江苏省自然科学基金.  BK20181362

Received: 2020-08-20   Revised: 2020-10-29   Online: 2020-12-31

作者简介 About authors

张瑛堃（1997-），女，河北唐山人，硕士研究生，主要从事页岩气地质与开发研究.E-mail:m15512011623@163.com. , E-mail：m15512011623@163.com

摘要

页岩气储层低孔低渗，需用水力压裂等方法进行储层改造方可获得经济产能。储层改造中裂缝的形态和分布对体积改造效果至关重要。为了研究压裂裂缝的模拟方法，系统调研和对比了储层水力压裂模拟常用方法，开展了扩展有限元模拟，研究表明：①水力压裂物理模拟实验能够直观观测裂缝的形态及展布特征，但因试样尺寸等问题难以代表实际储层压裂情形；②常用的数值模拟方法有边界元法、非常规裂缝模型、离散化缝网模型和扩展有限元法等，这些方法各有优缺点，需做有针对性的改进才能更好地模拟真实页岩储层压裂情况；③应用扩展有限元法模拟水力压裂和分段顺序压裂过程中裂缝的延伸情况，得到射孔方向与最大水平主应力之间夹角和诱导应力对压裂裂缝的影响，夹角越大，裂缝偏转角度越小，偏转距离越大，初始破裂压力越高，裂缝稳定延伸的压力也越大，而诱导应力的存在会抑制压裂裂缝的延伸。对实际压裂工程中射孔方向的选择和分段压裂射孔间距的设计具有指导意义。

关键词： 页岩储层 ; 水力压裂 ; 物理实验 ; 数值模拟 ; 扩展有限元

Abstract

Low porosity and low permeability of shale gas reservoirs require hydraulic fracturing and other methods to achieve economic productivity. The shape and distribution of fractures are very important to the volume transformation. In order to study the simulation methods of hydraulic fracture， the common methods of reservoir hydraulic fracture simulation are systematically investigated and compared， and the extended finite element simulation is carried out. The results show that： （1） The physical experiment of hydraulic fracturing can visually observe the fracture morphology and distribution characteristics， but it is difficult to represent the actual fracturing situation of the reservoir due to the sample size and other problems. （2） The commonly used numerical simulation methods include boundary element method （BEM）， unconventional fracture model （UFM）， discrete fracture network （DFN） and extended finite element method （XFEM）. These methods have their own advantages and disadvantages， which need to be improved to better simulate the real shale reservoir fracturing. （3） The extended finite element method is used to simulate the fracture extension of hydraulic fracturing and staged sequential fracturing. The influence of the angle between the perforation direction and the direction of the maximum horizontal principal stress and the induced stress on the fracturing pressure is obtained. The larger the angle is， the smaller the fracture deflection angle is， while the larger the fracture deflection distance is. The larger the angle is， the higher the initial fracturing pressure is， and the greater the pressure of stable fracture extension is. The induced stress will hinder the fracture extension. The simulation results have guiding significance for the selection of perforation direction and the design of perforation spacing in staged fracturing in actual engineering.

Keywords： Shale reservoir ; Hydraulic fracturing ; Physical experiment ; Numerical simulation ; Extended finite element

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本文引用格式

张瑛堃, 陈尚斌, 李学元, 王慧军. 页岩气储层水力压裂扩展有限元模拟方法及应用. 天然气地球科学[J], 2021, 32(1): 109-118 doi:10.11764/j.issn.1672-1926.2020.11.006

ZHANG Ying-kun, CHEN Shang-bin, LI Xue-yuan, WANG Hui-jun. Hydraulic fracturing simulation technology of shale gas reservoir and application of extended finite element method. Natural Gas Geoscience[J], 2021, 32(1): 109-118 doi:10.11764/j.issn.1672-1926.2020.11.006

0 引言

近年来，我国页岩气勘探开发取得重要进展，已实现初步商业化开发［1-2］。尽管我国页岩气资源潜力巨大，但页岩气储层渗透率极低，要实现长期稳产，需依赖于理想的储层改造技术。目前应用最广泛的储层改造方法为水平井分段水力压裂技术［3-4］。水力压裂的效果取决于裂缝的形态及延伸展布特征［5］。我国页岩储层埋藏深，物性及所受地应力复杂，直接监测体积改造效果困难［6］。物理实验和数值模拟等方法可以作为直接监测的有效替代方法，在储层压裂研究中被广泛应用［7-12］。这些方法可以观察分析压裂裂缝的起裂压力、形态及其与天然裂缝的联系，评价水力压裂的效果，进行压裂设计方案优化。已有学者［13-15］研究了射孔方向与地应力之间的关系对压裂裂缝起裂的影响，但关于不同射孔方向下单裂缝和分段顺序压裂裂缝的扩展形态及规律，尚未有较为系统的研究。本文系统调研了水力压裂裂缝扩展模拟方法，对比分析了其优点和局限性，并采用扩展有限元法对压裂裂缝的扩展进行了数值模拟，与物理试验结果对比，模拟了不同射孔方向和分段顺序压裂下裂缝的延伸情况。

1 页岩储层水力压裂物理实验与模拟方法

1.1　物理实验方法

页岩储层水力压裂物理实验是指用天然露头或者人工浇铸试样，加载三向应力，用井筒注入液体，模拟水力压裂过程，直到裂缝延伸至试样边界［16］。国外页岩储层水力压裂物理模拟实验的文献较少［17-19］。国内学者设计了大尺寸真三轴模拟压裂试验装置，模拟水力压裂过程，分析压裂裂缝的延伸机理。侯振坤等［6］采用大尺寸真三轴试验系统，研究了水力压裂裂缝的形态、形成机制和水力裂缝与天然裂缝的相互作用方式（表1）；解经宇等［20］采用真三轴压裂改造模拟器开展水平井水力压裂物理模拟实验，研究了射孔参数（射孔类型、射孔相位角和射孔轴向间距）和页岩物理力学性质对压裂裂缝形态的影响；考佳玮等［21］采用真三轴水力压裂系统研究了不同注液方式（连续注液、变排量注液和交替注液）对裂缝形态的影响。大尺寸真三轴实验用压裂液泵注系统向模拟井眼注入流体，采用声发射监测仪器监测压裂过程中裂缝的扩展情况，试验后，可采用工业CT扫描或者将试样剖开的方法观察裂缝分布和形态，分析压裂裂缝的延伸机理［30］。


1.2　数值模拟方法

页岩储层压裂过程中形成的裂缝形态复杂，甚至呈网状，应用常规的模型不能模拟页岩储层中压裂裂缝的延伸情况。近年来，国内外学者对常规模型进行改进，提出了一些适用于模拟页岩储层压裂的数值模拟方法，这些方法的基本原理、优势和局限性对比列入表1。

（1）边界元法（Boundary Element Method，BEM）。边界元法是在有限差分和有限元的影响下发展起来的数值模拟方法［31］。该方法基于控制微分方程的基本解建立边界积分方程来表达问题，通过对边界分元插值离散，化为代数方程组求解。

（2）非常规裂缝模型（Unconventional Fracture Model，UFM）。在拟三维模型的基础上，KRESSE等［23-24］考虑储层的应力场以及相邻裂缝间的应力干扰，建立了非常规裂缝模型。UFM模型的控制方程包括支撑剂的沉降方程、G—W裂缝延伸准则和裂缝变形方程。利用该模型可以计算出裂缝的宽度等参数。

（3）离散化缝网模型（Discrete Fracture Network，DFN）。离散化缝网模型最早由MEYER等［32］提出，是目前模拟页岩气水力压裂复杂缝网较为成熟的模型。该模型假设缝网为拟椭圆状球体，主裂缝垂直于最小水平主应力σh，并与次生裂缝相交形成正交裂缝网络［25］。

（4）扩展有限元法（Extend Finite Element Method，XFEM）。扩展有限元法是在经典有限元法的基础上增加广义节点自由度，改进插值形函数提出的［33-34］，是目前解决不连续问题最准确的方法，在国内外得到广泛应用。

2 扩展有限元法模型建立及应用实例

2.1　模型建立

2.1.1　初始岩体建模

基于前人［35］物理实验数据，应用ABAQUS2017数值模拟软件建立水力压裂裂缝延伸的扩展有限元二维模型。模型尺寸为0.3 m×0.3 m，模拟射孔长度为0.03 m，选择射孔方向与最大水平主应力夹角为60°，其他模型参数如表2所示。

表2   模型参数[35]

Table 2  Model parameters [35]

弹性模量E/GPa泊松比单轴抗压强度/MPa抗拉强度/MPa渗透率(K)/(10-3 μm2)
8.4020.2328.342.590.1
孔隙度(φ)/%最大水平主应力(σH)/MPa最小水平主应力(σh)/MPa试验排量/(m3/s)压裂液表观黏度/(mPa·s)
1.85612.1×10-973

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2.1.2　初始裂缝模拟

在水力压裂过程中，流体流经初始裂缝时，初始裂缝不发生偏转，因此可以用初始裂缝近似表示射孔长度。本文定义一条直线为初始裂缝。

扩展有限元模型中裂缝独立于网格存在，因此对岩石骨架模型进行网格划分时不需要考虑裂缝的状态，采用简单的四边形网格即可。本文应用的数值模拟软件ABAQUS自2017版本以后，要对初始裂缝进行网格划分，在相互作用中指定初始裂缝位置。

2.1.3　断裂起始准则

当应力或应变满足定义的起裂准则时，判断裂缝开始起裂。扩展有限元方法中常用的断裂起始准则有最大主应力准则和最大主应变准则［36］。

最大主应力准则可以表示为：f=σmaxσmaxa （1）

式中：σmax为最大主应力，MPa；σmaxa为最大临界主应力，MPa；σmax=0, σmax<0  σmax,σmax≥0 。

最大主应变准则可以表示为：f=εmaxεmaxa （2）

式中：εmax为最大主应变；εmaxa为最大临界主应变。以上两式中，f为断裂标准，当1.0≤f≤1.0+ftol时发生断裂，ftol为公差，默认为0.05。

为了提高计算结果的收敛性，选择最大主应力准则作为判断裂缝起裂的依据。

2.1.4　应力平衡分析

水力压裂过程中，岩石受到的地应力平衡，故模型中建立地应力平衡分析。忽略岩石中流体的黏性，用虚功原理表示应力平衡方程如下［37- 38］：∫VδεTDepdεdtdV+∫VδεTDepmso+poε3KsdpodtdV-∫VδεTmso+poξdpodtdV=∫VδuTdfdtdV+∫SδuTdτdtdS （3）

式中：δε为虚位移，m；Dep为弹塑性矩阵；m=［1，1，1，0，0，0］；Ks为固体颗粒的压缩模量，Pa；so为固相含液饱和度；po为孔隙液体压力，Pa；f为岩石体力，Pa；τ为岩体的面力，Pa；ξ为毛细压力与饱和度关系的参数；δu为虚应变。

2.1.5　边界条件施加

（1）位移边界条件。因为本文建立的是水力压裂二维模型，所以要约束x、y方向的边界位移，即U1=0，U2=0（ABAQUS中“1”代表x方向，“2”代表y方向）。

（2）孔压边界条件。定义孔压边界条件po=pob，即边界孔压为pob。若为静压边界条件，则定义po=0。

（3）初始地应力条件。定义场条件中的初始地应力，设置水平最大主应力、水平最小主应力等。

（4）初始孔隙比。定义场条件的初始孔隙比，模型中默认Void Ratio=φ，φ为模型孔隙度，%。

2.1.6　流体注入模拟

忽略流体的可压缩性，选择注入点后，修改模型输入文件，通过子命令*cflow设置流体注入。假设流体在岩体中流动遵循达西渗流规律，而在裂缝内流体为牛顿流体，其流动遵循如下规律［39］：

Q=-kt∇p

式中：Q为试验排量， m3/s；kt为流体流动系数；p为流体流动压力，Pa。

2.2　模拟结果验证

模拟结果如图1（a）所示，当射孔方向与最大水平主应力方向的夹角为60°时，裂缝在初始裂缝两侧地层中均发生偏转，转向方向沿垂直最小水平主应力方向，转向后沿平行最大水平主应力方向延伸，且初始裂缝两侧的裂缝并不对称，右侧转向半径略大于左侧。姜浒等［35］物理试验结果如图1（b）所示，可见模拟结果与试验结果十分接近。

图1

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图1   水力压裂裂缝延伸形态

Fig.1   Fracture extension pattern of hydraulic fracturing


2.3　扩展有限元法应用
2.3.1　不同射孔方向水力裂缝的延伸形态

用2.1.1中参数建立不同射孔角度的扩展有限元模型（图2），模拟水力压裂过程中压裂裂缝的延伸情况。设置射孔方向与最大水平主应力方向的夹角α分别为0°、15°、30°、45°、60°和75°。

图2

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图2   模型射孔方向与最大水平主应力夹角示意

Fig.2   Angle between model perforation direction and the maximum horizontal principal stress


模型计算结果如图3，当射孔方向与最大水平主应力的夹角α=0°时，裂缝沿最小水平主应力方向（即阻力最小的方向）裂开，之后沿着最大水平主应力方向延伸，不发生偏转；当α不为0°时，由于最大、最小水平主应力存在应力差，导致裂缝发生不同程度的偏转。由图3可知，射孔方向与最大水平主应力的夹角α越大，裂缝偏转角度越小，偏转距离越大。

图3

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图3   不同射孔方向扩展有限元模型计算结果

Fig.3   Calculation results of finite element model for different perforation directions


模型计算完成后进行后处理即可得到初始断裂单元的压力随时间的变化曲线（图4），不同射孔角度的压力随时间变化趋势相似：第一阶段为压力急剧增加阶段，直到峰值。随着压裂液注入，初始断裂单元压力逐渐上升，达到最大值时初始断裂发生，此时的压力称为破裂压力。第二阶段为台阶式锯齿状下降阶段。初始断裂发生后，压力下降，待压裂液充满初始裂缝后，压力又上升达到下一个峰值，此时压裂液突破主裂缝的某一点，形成次级裂缝，如此往复。第三阶段为持续稳定阶段。在该阶段，裂缝稳定延伸，压力曲线趋于平稳。

图4

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图4   不同射孔方向下压力随时间的变化曲线

Fig.4   Curve of pressure under different perforation directions changing with time


由图4可知，射孔方向与最大水平主应力方向的夹角α不同，破裂压力不同。当α=0°时，破裂压力最小；当α不为0°时，破裂压力增大。采用不同射孔方向，初始断裂单元达到破裂压力的注入时间不同，裂缝稳定延伸的压力也不同，除45°外，射孔方向与最大水平主应力方向的夹角越大，裂缝稳定延伸的压力也越大；夹角为45°时，裂缝延伸的压力最小。

提取图4中不同射孔方向的破裂压力得到破裂压力随射孔方向变化关系曲线（图5），破裂压力随射孔方向与最大水平主应力之间夹角α的增大呈增大趋势。当α=0°时，即射孔方向与最大水平主应力方向一致，此时裂缝沿着最大水平主应力方向延伸不发生偏转，裂缝受到最小水平主应力作用而起裂，破裂压力最小；当α不为0°时，裂缝朝最大主应力方向发生明显的偏转，最终沿着平行于最大水平主应力方向延伸。裂缝起裂受到最大最小水平主应力的共同作用，且裂缝转向需要消耗更多的能量，破裂压力增大。随射孔方向与最大水平主应力之间夹角α从0°增加到75°，破裂压力从5.98 MPa增大至17.36 MPa。上述趋势说明当射孔方向与最大水平主应力方向存在夹角时，由于水平应力差的存在，导致裂缝受到的阻力增大，使破裂压力遵循最小能量消耗原理变化，而裂缝也朝能量消耗最小的方向延伸。

图5

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图5   破裂压力随射孔方向变化关系曲线

Fig.5   Relation curve of fracturing pressure with perforation direction


综合图4和图5可知，当射孔方向与最大水平主应力的夹角小于45°时，裂缝较早达到破裂压力，破裂压力较小且裂缝稳定延伸时的压力也较小。实际压裂工程中，选择射孔方向时，可优先考虑与最大水平主应力夹角小于45°的方向。沿着该方向射孔，可以适当减小注液压力和压裂液的排量，有利于形成稳定延伸的压裂裂缝。

影响水力压裂裂缝延伸的因素还有注入压裂液排量、水平应力差等。实际压裂工程中，可以根据模拟结果选择合适的射孔方向，以达到较好的压裂效果。

2.3.2　分段顺序压裂水力裂缝的扩展形态

以射孔方向与最大水平主应力夹角45°为例，创建分段压裂扩展有限元模型，用2条直线表示2次压裂产生的初始裂缝（图6），模型参数同2.1节。在单裂缝扩展模型基础上，增加泄压分析和二次压裂分析，模拟分段顺序水力压裂的裂缝扩展形态。

图6

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图6   分段压裂初始模型

Fig.6   Initial model of staged fracturing


模型计算结果（图7）显示，二次压裂压裂液注入初期，初始裂缝靠近一次压裂裂缝尖端的一侧先开裂，并沿垂直最小水平主应力方向发生偏转，偏转后存在靠近一次压裂裂缝延伸的趋势；且在二次压裂初期，一次压裂裂缝尖端与二次压裂初始裂缝之间形成一条新的短裂缝［图7（a）］。随着压裂液不断注入，初始裂缝两侧均开裂并延伸：靠近一次压裂裂缝尖端一侧，主裂缝偏向一次压裂裂缝延伸，初期形成的短裂缝垂直最小水平主应力发生偏转，最终二者相交并停止扩展；远离一次压裂裂缝一侧，主裂缝的延伸情况与一次压裂裂缝的延伸情况一致，垂直最小水平主应力偏转后沿平行最大水平主应力方向延伸［图7（b）］。

图7

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图7   分段压裂模型计算结果

Fig.7   Calculation results of staged fracturing model


由此可知，一次压裂的水力裂缝周围产生了诱导应力，改变了岩体原始应力分布。一次压裂产生的水力裂缝尖端出现应力集中，因此二次压裂过程中靠近一次压裂裂缝一侧受到较大的地应力作用首先开裂，偏转后偏向应力集中方向延伸。由于存在一次压裂裂缝和二次压裂主裂缝尖端的应力集中现象，导致二者之间的应力值明显大于附近的地应力，因此在压裂初期形成一个较小的次生裂缝。次生裂缝与主裂缝相交后，因受到诱导应力影响，导致应力差不足以满足裂缝延伸所需，该侧裂缝停止扩展。远离一次压裂裂缝一侧受到诱导应力的影响很小，可忽略不计，因此这一侧主裂缝的延伸符合单次压裂裂缝延伸的规律，即初期裂缝起裂后垂直最小水平主应力偏转，最终沿平行最大水平主应力方向延伸。

综上可知，分段压裂过程中，先成裂缝产生的诱导应力会使后续压裂裂缝的延伸方向发生改变，并对其延伸存在一定的阻碍作用，且这种影响随距离的增加而减小。因此在实际工程中，可适当增大压裂段之间的距离以使裂缝充分延伸，增加裂缝的导流能力，进而改善增产效果。

3 结论

（1）压裂裂缝的扩展及分布是影响水力压裂效果的关键，常采用物理实验和数值模拟开展水力压裂模拟。物理实验模拟过程较准确，得到的结果更直观，但代表性有限，经济性不强；数值模拟主要有边界元法、非常规裂缝模型、离散化缝网模型和扩展有限元法等，各有优势和不足，需进一步改进才能更加真实地模拟页岩储层水力压裂过程。

（2）扩展有限元模型适用范围广，求解速度快，精度高，是页岩储层水力压裂模拟的主要发展方向。应用扩展有限元方法模拟水力压裂裂缝延伸情况与物理实验结果十分接近，表明该方法有效可靠。

（3）应用扩展有限元法模拟不同射孔方向下压裂裂缝的延伸情况，得到初始断裂单元压力随时间的变化曲线，表明压裂液注入到结束压力变化分3个阶段：急剧增加阶段、锯齿状下降阶段和持续稳定阶段。

（4）射孔方向与最大水平主应力的夹角越大，裂缝偏转角度越小，偏转距离越大，岩石破裂压力也越大；夹角小于45°时，具有较小的破裂压力和裂缝稳定延伸压力，是实际工程中较为理想的选择。

（5）分段顺序压裂过程中，先成裂缝产生的诱导应力对后续压裂裂缝的延伸存在一定的不利影响，可适当增大压裂段间距以弱化其影响，对分段压裂设计具有一定指导意义。

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