利用生产数据确定异常高压气藏储量

张立侠; 郭春秋; 赫英旭; 余洋; 刘晨超

doi:10.11764/j.issn.1672-1926.2021.01.006

天然气地球科学 >

2021 , Vol. 32 >Issue 5: 703 - 717

DOI: https://doi.org/10.11764/j.issn.1672-1926.2021.01.006

天然气开发

利用生产数据确定异常高压气藏储量

张立侠 ^,¹ ,
郭春秋 ¹ ,
赫英旭 ¹ ,
余洋 ¹ ,
刘晨超 ²

展开

^1. 中国石油勘探开发研究院，北京 100083
^2. 中国石油渤海钻探工程公司，天津 300457

张立侠（1996-），男，四川达州人，博士研究生，主要从事油气藏工程及渗流力学研究. E-mail：zhanglixia2016@petrochina.com.cn.

收稿日期: 2020-06-14

修回日期: 2021-01-05

网络出版日期: 2021-04-27

收起

Determination of gas in place for abnormally pressured gas reservoirs from production data

Li-xia ZHANG ^,¹ ,
Chun-qiu GUO ¹ ,
Ying-xu HE ¹ ,
Yang YU ¹ ,
Chen-chao LIU ²

Expand

^1. PetroChina Research Institute of Petroleum Exploration & Development，Beijing 100083，China
^2. CNPC Bohai Drilling Engineering Company Limited，Tianjin 300457，China

Received date: 2020-06-14

Revised date: 2021-01-05

Online published: 2021-04-27

Supported by

The National Science and Technology Major Project of China(2017ZX05030-003)

Fold

本文亮点

气藏储量的计算是油气藏工程领域关注的热点问题。物质平衡法及其各种衍生方法被广泛应用于井控储量或气藏储量的确定，但其存在成本较高的缺点。为准确、高效地确定异常高压气藏的储量，考虑孔隙中束缚水的膨胀作用和岩石孔隙的收缩作用，从天然气渗流基本理论出发求解气体渗流数学模型，并将之与异常高压气藏物质平衡原理相结合，导出了一种利用生产数据迭代计算气藏储量的方法（VRRLT⁃APGR方法），并给出了迭代初值的选择方法。利用各种生产制度下的数值模拟结果以及变产量变流压现场实例验证了其有效性，若生产数据可靠，储量计算误差一般不超过5%。该方法具有严格的理论基础，考虑了气体性质的变化和气井产量的波动，对于常压气藏和异常高压气藏均适用。

本文引用格式

张立侠 , 郭春秋 , 赫英旭 , 余洋 , 刘晨超 . 利用生产数据确定异常高压气藏储量[J]. 天然气地球科学, 2021 , 32(5) : 703 -717 . DOI: 10.11764/j.issn.1672-1926.2021.01.006

Highlights

Estimation of gas in place is a hot issue in the field of oil and gas reservoir engineering. Material balance method and its derivative methods are widely employed in determining gas in place or well-controlled reserves， but their costs are usually high. To determine gas in place of abnormally pressured gas reservoirs with desirable accuracy and efficiency， this paper derives an iterative calculation method taking the pore restriction of reservoir rocks and the volume expansion of bound water into account， and proposes the selection strategy for initial iteration value. The method, called VRRLT-APGR (variable-rate reservoir limits testing for abnormally pressured gas reservoirs) here, combines the mathematical model of gas flow through porous media which is solved on the basis of the fundamentals of natural gas flow, with the material balance principle of overpressured gas reservoirs. Numerical simulation data under various production scenarios and two field cases with variable-rate/variable-pressure conditions are used to verify its effectiveness， and generally the calculation error for gas in place is no more than 5% under the condition that production data should be recorded reliably and credibly. VRRLT-APGR method works very well for both gas reservoirs with abnormal high pressure and those with normal pressure in virtue of its strict theoretical basis， which also takes into consideration the changes in flowrate and variations of gas properties as functions of pressure.

0 引言

油气藏工程领域常涉及到气藏储量的确定这一基本问题，因为它影响气藏的开发规划和生产设计。估算储量的常用方法有物质平衡法^［1］、容积法^［2］、不稳定试井分析^［3］和产量递减分析法^［4-5］等。针对气田或气藏，一般采用容积法和物质平衡法，产量递减分析法和不稳定试井分析则主要用于确定井控储量。

许多气藏储量确定方法以物质平衡方程为基础（相关文献不在此处一一列举），但这些方法需要获得多个准确的平均地层压力数据，由于成本较高而不便使用。MATTAR等^［6-7］针对无水气藏提出了流动物质平衡法，该方法仅能用于常产量生产的情形，并且对于气井而言，由于没有考虑气体性质参数（黏度、偏差因子、压缩系数等）随压力的变化，存在一定的理论缺陷而难以获得令人信服的结果。BLASINGAME等^［8］基于气体渗流理论，结合定容气藏物质平衡方程并引入物质平衡拟时间函数，提出了一种利用生产数据（产量和井底压力）迭代计算物质平衡拟时间函数和平均地层压力，进而确定气藏储量的方法，即变产量探边测试，但该方法没有考虑气藏的异常高压特征，也没有说明初值如何选取。

对于生产井产量发生波动的情况，MATTAR等^［9-10］提出了动态物质平衡法（或变产量流动物质平衡法），该方法依据气体渗流模型的“稳定流”解和定容气藏物质平衡方程导出，仍可基于生产数据通过先假定一个储量而后对之进行迭代修正的方式估算真实储量。因为引入了拟时间和拟压力变量，即考虑了气体性质随压力的变化，MATTAR等^［9］提出的动态物质平衡法相较于之前的流动物质平衡法具有了更严格的理论基础，但它也未考虑束缚水和岩石孔隙的可压缩特征。

最近，STUMPF等^［11］利用（引入拟压力、未用拟时间的）边界控制流解与Arps双曲型递减的结合，提出了一种先确定“双曲窗口（双曲递减期）”，再采用该递减期内生产数据根据q ^1- ^b—G _p ^*直线关系确定储量的方法；该“双曲窗口”只存在于边界控制流的早期，这时递减指数b近似为常数，符合双曲型递减规律。此模型是针对定容气藏定流压生产井导出的，只能适用于常流压生产气井。该方法虽然避免了拟函数的计算，但需要先通过曲线拟合（调整X和Y）确定“双曲窗口”的开始和结束时间节点。

刘欣等^［12］指出，可利用垂直管流模型估算的井底流压，根据二项式产能公式确定的气井平均地层压力，并结合定容气藏物质平衡方程来计算气藏动态储量。该方法需要已知产能测试的二项式系数，平均地层压力的估算存在不确定性，并且同样没有考虑岩石孔隙和束缚水的压缩性。

孙贺东等^［13］在GONZALES方法^［1］的基础上，将气藏物质平衡方程中压缩系数项考虑为累积产气量的幂函数而进行储量估计，避免了压缩系数项的不确定性，但该关系仍具有经验性质，需要平均地层压力测点以进行二元回归。

WANG等^［14］将STUMPF等^［11］的双曲递减指数模型推广到了井底压力变化的情形，重新在定容气藏单相气体流动条件下推导了递减指数（b），从而可通过典型曲线和直线关系显式地估计天然气储量。此方法虽然避免了计算拟函数，但也未考虑异常高压气藏特征。

总之，若直接利用传统的物质平衡方程或与之相关的方法计算气藏储量需要关井测静压或进行试井以获取平均地层压力，成本较高；而目前利用生产数据的方法^{［11， 14-17］}大多没有考虑异常高压特性（即随着地层压力的下降，岩石孔隙和束缚水的弹性作用往往不可忽略）^［18-19］。故本文拟针对异常高压气藏，考虑岩石孔隙的收缩性和束缚水的膨胀性以及气体性质的变化，定义新的综合压缩系数、采用新的物质平衡方程，对BLASINGAME探边测试方法进行改进，形成新的气藏储量确定方法。

1 气体渗流数学模型

研究液体渗流问题时，其综合微分方程（控制方程）为典型的扩散方程，其中扩散系数可近似为常量，相对容易求解；但气体则不同，其黏度、偏差系数、压缩系数等都随压力发生明显变化，需要对渗流控制方程进行线性化处理以便于求解。

求解气体渗流问题的关键是扩散方程的线性化，AL-HUSSAINY等^［20-21］和RUSSEL等^［22］在这方面率先取得了颇具代表性的研究成果，他们提出的“拟压力”（pseudo-pressure）的概念可将渗流扩散方程部分线性化；RUSSELL等^［22］提出的拟压力具有压力的量纲，实际上是规整化的拟压力。AGARWAL^［23］提出了拟时间（pseudo-time）的概念，这标志着气体渗流问题的求解进入了新的阶段；LEE等^［24］证明了“拟压力”和“拟时间”的应用可将渗流扩散方程有效地线性化，并且可将微可压缩液体解应用于气体。FRAIM等^［25］使用拟压力和规整化时间（normalized time）研究了真实气体的定流压渗流问题，他们使用的是平均地层压力（而不是井底流压）下的黏度μ（p _ave）和综合压缩系数C _t（p _ave）来计算该规整化时间函数。MEUNIER等^［26-27］则提出了准压力（quasipressure）、准时间（quasitime）的概念，也称为“规整化拟压力”和“规整化拟时间”，它们分别具有压力和时间的量纲，使用更为方便。此外，还有学者直接使用密度函数或引入拟时间因子^［28］将天然气渗流控制方程线性化，其本质与采用“拟压力”和“拟时间”的做法并无差异。

参照以上定义各拟变量的线性化方法，下面给出气体渗流数学模型的求解过程。

1.1　气体渗流综合微分方程

气体渗流连续性原理可表述为：

- [∂ (ρ g v x) ∂ x + ∂ (ρ g v y) ∂ y + ∂ (ρ g v z) ∂ z] + q g = ∂ [ρ g (1 - S w c) ϕ] ∂ t

（1）

式中：ρ _g为气体密度，kg/m³；v_x、v_y、v_z分别为速度v _g在x、y、z方向上的分量，m/s；ϕ为孔隙度；q _g为单位时间单位体积单元体内由于源或汇的作用引起的流体质量变化，kg/（m³∙s）；S _wc为束缚水饱和度；t为时间，s。

若不考虑源汇项，单相气体渗流的连续性方程为：

- ∇ ⋅ (ρ g v ⃗ g) = ρ g ϕ ∂ (1 - S w c) ∂ t + (1 - S w c) ∂ (ρ g ϕ) ∂ t

（2）

不考虑高速非达西效应，也不考虑由于岩石表面存在吸附膜或水化膜而引起的附加启动压力梯度的现象，认为气体渗流满足达西定律，则：

v ⃗ g = - K μ ∇ p

（3）

式中：

v ⃗ g

为气体速度矢量，m³/s；μ为气体黏度，Pa∙s；K为有效渗透率，m²；p为压力，Pa。

据岩石压缩系数的定义，有：

C ϕ = 1 V p ⋅ d V p d p = 1 ϕ ⋅ d ϕ d p

（4）

式中：C_ϕ为岩石压缩系数，Pa^-1；V _p为孔隙体积，m³。

对上式分离变量积分得：

ϕ = ϕ i ⋅ e C ϕ (p - p i), V p = V p i ⋅ e C ϕ (p - p i)

（5）

式中：ϕ _i为原始地层条件下的孔隙度；p _i为原始地层压力，Pa；V _pi为原始地层条件下的孔隙体积，m³。

不考虑温度的变化，天然气的等温压缩系数为：

C g = Z T p ⋅ d d p (p Z T) = Z p ⋅ d d p (p Z)

（6）

ρ g = p Z T ⋅ M R

（7）

式中：C _g为气体压缩系数，Pa^-1；Z为气体偏差因子；T为温度，K；M为气体摩尔质量，kg/mol；R为摩尔气体常数^［29-30］，8.314 459 8 J/（mol∙K）。

根据水的压缩系数的定义，有：

C w = - 1 V w ⋅ d V w d p

（8）

分离变量积分得：

V w = V w i ⋅ e - C w (p - p i)

（9）

那么，束缚水饱和度可表示为：

S w c = V w V p = V w i ⋅ e - C w (p - p i) V p i ⋅ e C ϕ (p - p i) = S w c i ⋅ e - (C w + C ϕ) (p - p i)

（10）

式中：V _w为束缚水的体积，m³；V _wi为原始地层条件下的束缚水体积，m³；S _wci为原始地层条件下的束缚水饱和度；C _w为水的压缩系数，Pa^-1。

将式（3）、（5）、（6）、（7）、（10）代入式（2），整理得：

∇ ⋅ (p μ Z ∇ p) = ϕ i K e C ϕ (p - p i) [(1 - S w c) (C g + C ϕ) + S w c (C w + C ϕ)] p Z ∂ p ∂ t

（11）

即：

∇ ⋅ (p μ Z ∇ p) = ϕ i μ C t K ⋅ p μ Z ∂ p ∂ t

（12）

C t = e C ϕ (p - p i) [C ϕ + (1 - S w c) C g + S w c C w]

（13）

式（13）即为单相气体不稳定渗流综合微分方程或控制方程，由于气体性质参数μ、Z以及综合压缩C _t是随压力发生变化的，对此方程进行直接求解较为困难。参考RUSSELL等^［22］提出的拟压力和MEUNIER等^［26］规整化拟变量的定义，引入如下拟压力和拟时间变量：

p p = p i + μ i ρ g i ∫ p i p ρ g (ξ) μ (ξ) d ξ = p i + μ i Z i p i ∫ p i p ξ μ (ξ) Z (ξ) d ξ

（14）

t a = μ i C t i ∫ 0 t 1 μ C t d t

（15）

上两式中：p_p为拟压力函数，Pa；p _i为原始地层压力，Pa；μ _i为原始地层条件下气体的黏度，Pa∙s；ρ _gi为原始地层条件下气体的密度，kg/m³；Z为气体偏差因子；Z _i为原始地层条件下气体偏差因子；t _a为拟时间函数，s；C _t为由式（13）定义的综合压缩系数，Pa^-1；C _ti为原始地层条件下的综合压缩系数，Pa^-1。

那么，式（12）可化为：

∇ 2 p p = ϕ i μ i C t i K ⋅ ∂ p p ∂ t a

（16）

液体渗流控制方程或综合微分方程与式（16）在形式上一样。由此可见，拟压力和拟时间的引入使得气体渗流规律的表述形式与液体一致，故可借鉴相应的液体渗流问题解。

1.2　气井定产量生产解

有界封闭地层中心一口气井定产量生产的渗流数学模型可写为：

∂ 2 p p ∂ r 2 + 1 r ⋅ ∂ p p ∂ r = ϕ i μ i C t i α t K ⋅ ∂ p p ∂ t a (r ∂ p p ∂ r) r = r w = q μ i B g i α p K h ∂ p p ∂ r r = r e = 0, p p t a = 0 = p p (p i)

（17）

式中：r为某一位置到井中心的距离，m；r _w为井径，m；r _e为边界长度，m；B _gi为原始地层条件下天然气的体积系数，m³/m³；h为地层有效厚度，m；α _p为无量纲压力换算系数；α _t为无量纲时间换算系数。在国际单位制（International System of Units）下：α _p=2π，α _t=1；若采用其他单位系统，其取值有所不同。为简便起见，如无特殊说明，本文的符号注释内容均以国际标准单位进行解释。

定义如下无量纲量：

p D = α p ⋅ K h (p p i - p p) q μ i B g i

（18）

t D = α t ⋅ K ϕ i μ i C t i r w 2 t a

（19）

r D = r r w

（20）

式中：p _D为无量纲压力；t _D为无量纲时间；r _D为无量纲半径。

将式（18）—式（20）代入式（17），得到无量纲渗流数学模型为：

∂ 2 p D ∂ r D 2 + 1 r D ∂ p D ∂ r D = ∂ p D ∂ t D (r D ∂ p D ∂ r D) r D = 1 = - 1 ∂ p D ∂ r D r D = r e D = 0, p D t D = 0 = 0

（21）

式中：r _eD为边界r _e对应的无量纲半径。

分析拟变量的定义知，拟时间t _a是时间t的函数，而气体黏度μ和综合压缩系数C _t是压力p的函数，所以t _a是位置r和时间t的函数；拟压力p_p只与压力p有关，也是位置和时间的函数；严格意义上讲，p_p和t _a对应同一个压力p，即拟压力和拟时间对应同一位置和同一时间，这给式（17）和式（21）的求解带来了困难。

一般的做法是在某一参考压力条件下计算t _a的值，即：

t a = μ i C t i ∫ 0 t 1 μ C t d t ≈ μ i C t i ∫ 0 t 1 μ (p r e f) C t (p r e f) d t

（22）

式中：p _ref为某一参考压力，Pa。

这样，t _a就近似为只与时间t相关的函数，t _D也只与时间t相关，对式（21）进行关于t _D的拉普拉斯变换，得到有限系统定产量生产的无量纲压降p _D的拉氏空间解为：

p ˜ D = K 1 (r e D s) I 0 (r D s) + I 1 (r e D s) K 0 (r D s) s s ⋅ [K 1 (s) I 1 (r e D s) - K 1 (r e D s) I 1 (s)]

（23）

式中：

p ˜ D

为p _D对应的拉氏变量；s为t _D对应的拉氏变量；I₀、I₁分别为零阶和一阶第一类修正贝塞尔函数；K₀、K₁分别为零阶和一阶第二类修正贝塞尔函数。

式（23）的解析反演式为：

p D = 2 t D r e D 2 - 1 - r e D 2 r e D 2 - 1 L n r D + 4 r e D 4 L n r e D - 3 r e D 4 + 2 r D 2 (r e D 2 - 1) + 2 r e D 2 + 1 4 (r e D 2 - 1) 2 - π ∑ n = 1 ∞ e - α n 2 ⋅ t D J 1 2 (r e D α n) [Y 1 (α n) J 0 (r D α n) - J 1 (α n) Y 0 (r D α n)] α n [J 1 2 (r e D α n) - J 1 2 (α n)]

（24）

式中：J₀、J₁分别为零阶和一阶第一类贝塞尔函数；α_n为方程J₁（r _eD α）Y₁（α）-Y₁（r _eD α）J₁（α）=0的根；Y₀、Y₁分别为零阶和一阶第二类贝塞尔函数（诺伊曼函数）；当t _D较大时，式（24）中的无穷级数项可忽略，令r _D=1得到无量纲井底压力的长时近似解为：

p w D = 2 r e D 2 - 1 t D + 4 r e D 4 L n r e D - 3 r e D 4 + 4 r e D 2 - 1 4 (r e D 2 - 1) 2

（25）

1.3　气井变产量生产解

如图1所示，考虑气井生产过程中出现了m次产量波动的情形；根据压降叠加原理，其产量变化产生的拟压降为：

p p i - p p (r, t a) = ∑ i = 1 m (Δ p p) i = ∑ i = 1 m μ i B g i α p K h ⋅ (q i - q i - 1) ⋅ p D (t a - t a, i - 1) q 0 = 0, t a, 0 = 0

（26）

式中：（Δp_p） _i为第i次产量波动产生的拟压降，Pa；q_i为第i个生产期的产量，m³/s；q_i _－1为第i－1个生产期的产量，m³/s；t _a， _i _－1为第i个生产期开始的拟时间，s。

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图1 气井变产量生产示意

Fig.1 Schematic diagram of variable production rates of gas wells

结合无量纲时间的定义式，联立式（24）和式（26），得：

p p i - p p = μ i B g i α p K h {2 r e D 2 - 1 ⋅ α t K ϕ i μ i C t i r w 2 G p a + [- r e D 2 r e D 2 - 1 L n r D + 4 r e D 4 L n r e D - 3 r e D 4 + 2 r D 2 (r e D 2 - 1) + 2 r e D 2 + 1 4 (r e D 2 - 1) 2] q m - ∑ i = 1 m (q i - q i - 1) [π ∑ n = 1 ∞ e - α n 2 ⋅ α t K ϕ i μ i C t i r w 2 (t a - t a, i - 1) J 1 2 (r e D α n) ⋅ Y 1 (α n) J 0 (r D α n) - J 1 (α n) Y 0 (r D α n) α n [J 1 2 (r e D α n) - J 1 2 (α n)]]}

（27）

G p a = ∑ i = 1 m (q i - q i - 1) (t a - t a, i - 1) = ∑ i = 1 m q i (t a, i - t a, i - 1) = ∫ 0 t a q d t a

（28）

在式（27）两端同时除以q _m并取r _D=1，得到井底拟压力关系式为：

p p i - p p w f q m = μ i B g i α p K h {2 r e D 2 - 1 ⋅ α t K ϕ i μ i C t i r w 2 t c a + 4 r e D 4 L n r e D - 3 r e D 4 + 4 r e D 2 - 1 4 (r e D 2 - 1) 2 - ∑ i = 1 m q i - q i - 1 q m [π ∑ n = 1 ∞ e - α n 2 ⋅ α t K ϕ i μ i C t i r w 2 (t a - t a, i - 1) J 1 2 (r e D α n) ⋅ Y 1 (α n) J 0 (α n) - J 1 (α n) Y 0 (α n) α n [J 1 2 (r e D α n) - J 1 2 (α n)]]}

（29）

t c a = G p a q m = 1 q m ∫ 0 t a q d t a = 1 q m ∫ 0 t q ⋅ μ i C t i μ (p r e f) C t (p r e f) d t

（30）

式中：t _ca为物质平衡拟时间，s；G _pa为式（28）定义的一个与累积产量类似的物理量，m³；p _ref为参考压力，Pa；

p p w f

为井底压力p _wf对应的拟压力，Pa；

p p i

为p _i对应的拟压力，Pa。

当时间t足够长，t _a较大，这时气井的变产量生产处于边界控制流阶段；若相较于边界作用的影响而言，产量波动的影响可忽略不计，则式（29）中的无穷级数项可以略去，这种状态与定产量生产时晚期的拟稳态类似，称之为“稳定流”^［31］。那么此状态下，式（29）可简写为：

p p i - p p w f q m = 2 α t B g i α p (r e 2 - r w 2) h ϕ i C t i ⋅ t c a + μ i B g i α p K h ⋅ 4 r e D 4 L n r e D - 3 r e D 4 + 4 r e D 2 - 1 4 (r e D 2 - 1) 2

（31）

式（31）和式（25）具有相似性，只不过对于变产量的情形，需要应用物质平衡拟时间函数；记

(p p i - p p w f) ⋅ q - 1

—t _ca关系曲线直线段的斜率和截距分别为m _bdf和b，即：

p p i - p p w f q = (Δ p p) i - w f q = m b d f ⋅ t c a + b

（32）

m b d f = 2 π α t α p ⋅ B g i A h ϕ i C t i

（33）

A = π (r e 2 - r w 2)

（34）

式中：

(Δ p p) i - w f

为原始压力p _i与井底压力p _wf对应的拟压力之差，Pa；m _bdf为

(Δ p p) i - w f

/q—t _ca关系直线的斜率，Pa/m³；b为

(Δ p p) i - w f

/q—t _ca关系直线的截距，Pa∙s/m³；A为气藏面积，m²。

由式（33）知，气藏储量或井控储量G与斜率m _bdf的关系可表示为：

G = A h ϕ i (1 - S w c i) B g i = 1 m b d f ⋅ 2 π α t α p ⋅ 1 - S w c i C t i

（35）

至此，导出了一种根据气井生产数据计算气藏储量的方法，即作出（∆p_p）

i - w f

/q—t _ca关系曲线并确定直线段的斜率。需要注意的是，前文建立并求解气体渗流数学模型时认为拟时间t _a对应着某一参考压力条件，那么物质平衡拟时间t _ca的计算也应在此参考压力下进行。起初，AGARWAL^［23］和LEE^［24］以井底流压p _wf为参考压力，而当前合适的做法是将平均地层压力p _ave作为参考压力^{［8， 25， 28， 32-34］}，即：

t c a = μ i C t i q ∫ 0 t q (t) μ (p a v e) C t (p a v e) d t

（36）

式中：p _ave为平均地层压力，Pa。

2 异常高压气藏物质平衡方程

由式（36）知，计算t _ca需要知道平均地层压力p _ave随时间t的变化数据，而平均地层压力往往难以测量；那么，可用“先假定一个储量初值求取平均地层压力和t _ca，而后不断更新储量值”的迭代方法确定气藏的储量。平均地层压力可由异常高压气藏物质平衡方程确定，下面介绍其推导过程。

由物质平衡原理知：在不考虑边底水侵入的条件下，天然气的采出由束缚水体积膨胀、岩石孔隙体积缩小和气体自身膨胀三方面的作用引起，即：

G p B g = Δ V w + Δ V p + G (B g - B g i)

（37）

式中：G _p为累积产气量，m³；G为气藏地质储量，m³；ΔV _p为孔隙体积的缩小值，m³；ΔV _w为束缚水的膨胀量，m³；B _g为天然气体积系数，m³/m³；B _gi为初始条件下的天然气体积系数，m³/m³。

由式（5）和式（9）知：

Δ V p = V p i - V p = V p i [1 - e C ϕ (p a v e - p i)]

（38）

Δ V w = V w - V w i = V w i [e - C w (p a v e - p i) - 1]

（39）

初始条件下的孔隙体积V _pi和束缚水体积V _wi可表示为：

V p i = G B g i 1 - S w c i, V w i = G B g i 1 - S w c i S w c i

（40）

天然气的体积系数B _g（p _ave）和B _gi满足：

B g (p a v e) = Z T p a v e ⋅ p s c Z s c T s c, B g i = Z i T i p i ⋅ p s c Z s c T s c

（41）

式中：p _sc为标况压力，1.013 25×10⁵ Pa；Z _sc为标况下气体偏差因子；T _sc为标况温度，293.15 K；T _i为原始地层温度，K。

若认为T≈T _i，即在天然气开采过程中气藏的温度保持不变，将式（38）—式（41）代入式（37）可得：

g (p a v e) = p i Z i (1 - G p G)

（42）

g (p a v e) = p a v e Z (p a v e) ⋅ e C ϕ (p a v e - p i) - S w c i e - C w (p a v e - p i) 1 - S w c i

（43）

式中：g（p _ave）为与平均地层压力相关的函数，Pa。

式（42）即为异常高压气藏物质平衡方程；由该式可看出，g（p _ave）—G _p关系曲线上应出现负斜率直线段，其斜率为-p _i/（Z _i G）、截距为p _i/Z _i，据此可求出气藏储量G。若不考虑岩石和束缚水的弹性作用，令C _w=C_ϕ=0，则g（p _ave）退化为p _ave/Z（p _ave）；但对于异常高压气藏而言，应使用函数g（p _ave），而不能直接采用p _ave/Z（p _ave）—G _p关系曲线确定气藏储量。

3 异常高压气藏变产量探边测试法

不难看出，式（42）和式（35）中的储量G是可以相互验证的；故结合式（42）、（43）和式（32）、（35），可设计“异常高压气藏变产量探边测试”确定气藏储量的迭代步骤如下：

（1）假定一个气藏储量，记为G _a。

（2）将G _a代入式（42）确定各时间点的g（p _ave）。

（3）根据式（43），将g（p _ave）转化为平均地层压力p _ave。

（4）利用式（36）计算物质平衡拟时间t _ca，其中C _t应按式（13）的定义计算。

（5）绘制（∆p_p）

i - w f

/q—t _ca关系曲线，确定直线段的斜率m _bdf。

（6）利用式（35）反求储量，记为G _e。

（7）将新算得的G _e赋值给G _a，重复步骤（2）—（6），直至2次计算储量之差达到预期精度。

上述方法可直接利用日常生产数据（产量q、流压p _wf及累积产量G _p等）计算气藏储量G，不需要关井测静压或进行试井，可有效节约成本。该计算过程可由计算机程序完成。本文将上述方法称为“异常高压气藏变产量探边测试法”简记为VRRLT-APGR（Variable-Rate Reservoir Limits Testing for Abnormally Pressured Gas Reservoirs）。

4 数值模拟验证

下面采用几个数值算例，说明本文方法对于异常高压气藏的适用性。采用模拟器模拟一口生产井位于圆形有界气藏中心的单相气体径向流动，认为岩石孔隙体积的缩小和束缚水体积的膨胀不可忽略。采用200×72×1的径向网格，dr=1.5 m，dθ=5°，dz=10 m，K_r=K_θ=3×10^-3 μm²，K_z=0.01∙K_r，原始地层压力p _i为55 MPa，原始地层温度T _i为108 ℃，初始岩石孔隙度ϕ _i为0.2，初始束缚水饱和度S _wci为0.2，气藏顶面深度设为2 995 m，初始化得到V _pi=565 864 m³，气藏储量G=1.519 063 10×10⁸ m³。其他气藏参数设定如表1所示。

表 1 气藏性质参数

Table 1 Reservoir properties

物理量	数值
G /m³	1.519 063 10×10⁸
ϕ _i	0.2
K/(10^-3 μm²)	3.0
S _wci	0.2
r _e /m	300
r _w /m	0.1
h /m	10
p _i /MPa	55
T _i /K	381.15
T _pc /K	201.325 729
p _pc /MPa	4.597 109
M _g /(g/mol)	19.576 754
Z _sc	0.997 514
μ _i /mPa∙s	3.401 434 212×10^-2
C_ϕ /MPa^-1	2.364×10^-3
C _w /MPa^-1	4.230×10^-4
μ _w /mPa∙s	0.264 565（at p _i）
C _gi /MPa^-1	8.924 326 991×10^-3
C _ti /MPa^-1	9.588 061 593×10^-3
B _gi /(m³/m³)	2.980 066 777×10^-3
V _pi /m³	565 864

采用LONDONO等^［35-36］黏度关系式计算天然气的黏度（μ），利用HALL等^［37］方法确定天然气偏差因子Z和气体压缩系数C _g。气体体积系数B _g和黏度μ随压力p的变化关系如图2所示。

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图2 天然气体积系数(B _g)和黏度（μ)随压力（p)的变化曲线

Fig.2 Gas formation volume factor (B _g) & gas viscosity (μ) vs pressure (p)

4.1　定产量模拟

气井生产的模拟期约为3年，共设置1 111个时间步，前面的步长较小；时间步1~12代表的时间间隔为1 h，时间步13和14分别为3 h和9 h，时间步15和16的步长为12 h，其余时间间隔为24 h。设定气井的产量为1.6×10⁴ m³/d，生产制度如表2所示。

表2 定产量生产计划

Table 2 Production schedules for the constant rate case

t /d	TS	Δt /h	Δt /d	q /(10⁴ m³/d)
1~1 097	1~12	1	0.041 667	1.6
	13	3	0.125	1.6
	14	9	0.375	1.6
	15~16	12	0.5	1.6
	17~1 111	24	1	1.6

注： TS为时间步；Δt为表示时间间隔，h或d

记录数值模拟得到的气井产量、井底流压、累积产量等随时间的变化数据，由于气体黏度（μ）、偏差因子（Z）随压力的变化关系为已知，那么可按式（14）计算井底压力对应的拟压力，故式（32）中相应的纵坐标绘图函数（Δp_p）

i - w f

为已知，现在只需迭代计算横坐标绘图函数t _ca的值。

确定物质平衡拟时间t _ca，需要先假定一个气藏储量G _a，该迭代初值可由（p _i－p _wf）∙q ^-1—t关系曲线的斜率确定。如图3所示，不采用拟函数时，绘制（p _i－p _wf）∙q ^-1—t关系曲线，其斜率为5.092 941 367×10^-3 MPa∙（10⁴ m³）^-1，由此斜率反算的储量为163 828 893 m³，可将此值作为迭代初值。再按本文第三部分的迭代方法进行计算，其结果如表3所示。

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图3 定产条件下利用真实压力和真实时间得到的(p _i－p _wf)∙q ^-1—t关系曲线

Fig.3 (p _i－p _wf)∙q ^-1 vs t from real pressure (p) and real time (t) data for the constant-flowrate case

表3 定产条件下VRRLT-APGR方法的计算结果（初值储量G _a=1.638 288 93×10⁸ m³）

Table 3 Estimation of gas in place using VRRLT-APGR method with an initial G _a=1.638 288 93×10⁸ m³ for the constant-flowrate case

No.	G _a /m³	m _bdf /[10^-3 MPa·(10⁴ m³)^-1]	G _e /m³	E _a /%
1	163 828 893	5.319 073 355	156 863 966	3.264
2	156 863 966	5.330 482 813	156 528 212	3.043
3	156 528 212	5.331 061 039	156 511 234	3.031
4	156 511 234	5.331 090 352	156 510 374	3.031
5	156 510 374	5.331 091 835	156 510 330	3.031
6	156 510 330	5.331 091 913	156 510 328	3.031
7	156 510 328	5.331 091 916	156 510 328	3.031

若直接采用真实压力和真实时间绘图，由（p _i－p _wf）∙q ^-1—t关系直线的斜率反求的储量值为163 828 893 m³，它与真实储量值151 906 310 m³的差距为7.849%，误差相对较大；但经VRRLT-APGR方法迭代计算以后，储量值稳定在156 5103 28 m³，误差仅为3.031%，可以满足工程需要。实际上，经过2次迭代以后，相邻两次估算的储量值已相差很小（仅为-0.214%），此时即可终止迭代。若储量迭代初值为其他值（假设偏离真实G较远），利用VRRLT-APGR方法计算的储量仍会稳定在同样的结果，具体如表4、表5所示。

E a = G e - G G × 100 %

（44）

表4 定产条件下VRRLT-APGR方法的计算结果（初值储量G _a=0.5×10⁸ m³）

Table 4 Estimation of gas in place using VRRLT-APGR method with an initial G _a=0.5×10⁸ m³ for the constant-flowrate case

No.	G _a /m³	m _bdf /[10^-3 MPa·(10⁴ m³)^-1]	G _e /m³	E _a /%
1	50 000 000	6.028 144 607	138 412 563	-8.883
2	138 412 563	5.366 887 206	155 466 458	2.344
3	155 466 458	5.332 907 651	156 457 040	2.996
4	156 457 040	5.331 183 960	156 507 626	3.029
5	156 507 626	5.331 096 581	156 510 191	3.031
6	156 510 191	5.331 092 152	156 510 321	3.031
7	156 510 321	5.331 091 928	156 510 328	3.031
8	156 510 328	5.331 091 916	156 510 328	3.031

表5 定产条件下VRRLT-APGR方法的计算结果（初值储量G _a=3.0×10⁸ m³）

Table 5 Estimation of gas in place using VRRLT-APGR method with an initial G _a=3.0×10⁸ m³ for the constant-flowrate case

No.	G _a /m³	m _bdf /[10^-3 MPa·(10⁴ m³)^-1]	G _e /m³	E _a /%
1	300 000 000	5.207 959 913	160 210 708	5.467
2	160 210 708	5.324 864 505	156 693 366	3.151
3	156 693 366	5.330 776 277	156 519 595	3.037
4	156 519 595	5.331 075 915	156 510 798	3.031
5	156 510 798	5.331 091 104	156 510 352	3.031
6	156 510 352	5.331 091 873	156 510 329	3.031
7	156 510 329	5.331 091 915	156 510 328	3.031
8	156 510 328	5.331 091 916	156 510 328	3.031

由表4和表5可以看出，最终的迭代结果对于储量迭代初值并不敏感，即使是从远小于真实储量的0.5×10⁸ m³或从远大于真实值的3.0×10⁸ m³开始迭代，最终的储量估计值均会稳定在156 510 328 m³；事实上，在迭代3次之后便可终止计算过程，因为前后2次计算结果相差已小于1%。表3—表5的计算结果表明：对于定产量生产井，可应用VRRLT-APGR方法估算气藏储量。

4.2　定压力模拟

保持其他模拟参数不变，将气井生产制度变为定井底压力生产（p _wf=30 MPa），如表6所示。如图4所示，依据模拟结果易得到（p _i－p _wf）∙q ^-1—t关系直线的斜率为6.582 477 939×10^-3 MPa∙（10⁴ m³）^-1，由此斜率求得的储量为126 756 360 m³，此时误差为-16.556%（不能满足工程需要），但可将其作为迭代初值。VRRLT-APGR方法的计算结果如表7所示。

表6 定流压生产计划

Table 6 Production schedules for the constant pressure case

t /d	TS	Δt /h	Δt /d	p _wf /MPa
1~1 097	1~12	1	0.041 667	30
	13	3	0.125	30
	14	9	0.375	30
	15~16	12	0.5	30
	17~1 111	24	1	30

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图4 定流压条件下(p _i－p _wf)∙q ^-1－t关系曲线

Fig.4 (p _i－p _wf)∙q ^-1 vs t for the constant-pressure case

表7 定压条件下VRRLT-APGR方法的计算结果（初值储量G _a=1.267 563 60×10⁸ m³）

Table 7 Estimation of gas in place using VRRLT-APGR method with an initial G _a=1.267 563 60×10⁸ m³ for the constant bottomhole pressure case

No.	G _a /m³	m _bdf /[10^-3 MPa·(10⁴ m³)^-1]	G _e /m³	E _a /%
1	126 756 360	5.471 803 037	152 485 559	0.381
2	152 485 559	5.402 575 084	154 439 491	1.668
3	154 439 491	5.398 366 775	154 559 884	1.747
4	154 559 884	5.398 111 359	154 567 197	1.752
5	154 567 197	5.398 095 859	154 567 641	1.752
6	154 567 641	5.398 094 917	154 567 668	1.752
7	154 567 668	5.398 094 859	154 567 670	1.752
8	154 567 670	5.398 094 854	154 567 670	1.752

由表7可看出，只需3次迭代便可使前后2次差值小于1%，此时便可终止计算；若继续迭代过程，则储量估计值最终为154 567 670 m³，误差为1.752%，较为准确。将迭代初值取为其他值的计算结果如表8和表9所示。

表8 定压条件下VRRLT-APGR方法的计算结果（初值储量G _a=0.5×10⁸ m³）

Table 8 Estimation of gas in place using VRRLT-APGR method with an initial G _a=0.5×10⁸ m³ for the constant bottomhole pressure case

No.	G _a /m³	m _bdf /[10^-3 MPa·(10⁴ m³)^-1]	G _e /m³	E _a /%
1	50 000 000	6.170 943 023	135 209 633	-10.991
2	135 209 633	5.445 776 149	153 214 330	0.861
3	153 214 330	5.400 991 467	154 484 774	1.697
4	154 484 774	5.398 270 652	154 562 636	1.749
5	154 562 636	5.398 105 525	154 567 364	1.752
6	154 567 364	5.398 095 504	154 567 651	1.752
7	154 567 651	5.398 094 896	154 567 669	1.752
8	154 567 669	5.398 094 856	154 567 670	1.752

表9 定压条件下VRRLT-APGR方法的计算结果（初值储量G _a=3.0×10⁸ m³）

Table 9 Estimation of gas in place using VRRLT-APGR method with an initial G _a=3.0×10⁸ m³ for the constant bottomhole pressure case

No.	G _a /m³	m _bdf /[10^-3 MPa·(10⁴ m³)^-1]	G _e /m³	E _a /%
1	300 000 000	5.248 146 508	158 983 927	4.659
2	158 983 927	5.389 024 182	154 827 834	1.923
3	154 827 834	5.397 544 488	154 583 431	1.762
4	154 583 431	5.398 061 456	154 568 626	1.753
5	154 568 626	5.398 092 829	154 567 728	1.752
6	154 567 728	5.398 094 731	154 567 673	1.752
7	154 567 673	5.398 094 849	154 567 670	1.752
8	154 567 670	5.398 094 854	154 567 670	1.752

由表8和表9可以看出，无论迭代初值如何选择，最终的储量估计值都会稳定在154 567 670 m³；一般情况下，在迭代3次之后便可终止计算过程，因为前后两次计算的储量值相差已很小（<1%）。表7—表9的计算结果表明VRRLT-APGR方法对于定流压生产的情况同样适用。

4.3　复杂生产计划模拟

保持其他参数不变，将气井生产制度变为由定产量生产和定压力生产的数次组合，如表10所示。同理，得到（p _i－p _wf）∙q ^-1—t关系曲线（图5）的斜率为5.868 116 645×10^-3 MPa∙（10⁴ m³）^-1，由此斜率反求的储量为142 187 178 m³，此时误差为-6.398%；可将此值作为迭代初值，利用VRRLT-APGR方法计算气藏储量，结果如表11所示。

表10 复杂生产制度

Table 10 Complex production schedules

t /d	TS	Δt /h	Δt /d	Production Scenarios
1~251	1~12	1	0.041 667	q=2.0×10⁴ m³/d
	13	3	0.125
	14	9	0.375
	15~16	12	0.5
	17~265	24	1
252~592	266~606	24	1	p _wf=30.9 MPa
593~842	607~856	24	1	q=1.7×10⁴ m³/d
843~1 097	857-1 111	24	1	p _wf=28.8 MPa

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图5 复杂生产条件下(p _i－p _wf)∙q ^-1—t关系曲线

Fig.5 (p _i⁃p _wf)∙q ^-1 vs t for the complex production schedules

表11 VRRLT-APGR方法对于复杂生产制度的计算结果（初值储量G _a=1.421 871 78×10⁸ m³）

Table 11 Estimation of gas in place using VRRLT-APGR method with an initial G _a=1.421 871 78×10⁸ m³ for the complex production schedules

No.	G _a /m³	m _bdf /[10^-3 MPa·(10⁴ m³)^-1]	G _e /m³	E _a /%
1	142 187 178	5.374 261 526	155 253 134	2.203
2	155 253 134	5.345 003 996	156 102 960	2.763
3	156 102 960	5.343 289 466	156 153 049	2.796
4	156 153 049	5.343 189 059	156 155 984	2.798
5	156 155 984	5.343 183 178	156 156 156	2.798
6	156 156 156	5.343 182 833	156 156 166	2.798
7	156 156 166	5.343 182 813	156 156 166	2.798

由表11可看出，以G _a=142 187 178 m³为迭代初值时，迭代2次之后估计储量的变化率便小于1%，此时误差为2.763%，可满足油气藏工程需要；若继续迭代，储量估计值最终稳定在156 156 166 m³。对于迭代初值给定为其他值的情况，见表12和表13所示。

表12 VRRLT-APGR方法对于复杂生产制度的计算结果（初值储量G _a=0.5×10⁸ m³）

Table 12 Estimation of gas in place using VRRLT-APGR method with an initial G _a=0.5×10⁸ m³ for the complex production schedules

No.	G _a /m³	m _bdf /[10^-3 MPa·(10⁴ m³)^-1]	G _e /m³	E _a /%
1	50 000 000	6.158 017 103	135 493 444	-10.805
2	135 493 444	5.391 715 204	154 750 559	1.872
3	154 750 559	5.346 027 805	156 073 065	2.743
4	156 073 065	5.343 349 427	156 151 297	2.794
5	156 151 297	5.343 192 570	156 155 881	2.797
6	156 155 881	5.343 183 385	156 156 150	2.798
7	156 156 150	5.343 182 845	156 156 165	2.798
8	156 156 165	5.343 182 815	156 156 166	2.798

表13 VRRLT-APGR方法对于复杂生产制度的计算结果（初值储量G _a=3.0×10⁸ m³）

Table 13 Estimation of gas in place using VRRLT-APGR method with an initial G _a=3.0×10⁸ m³ for the complex production schedules

No.	G _a /m³	m _bdf /[10^-3 MPa·(10⁴ m³)^-1]	G _e /m³	E _a /%
1	300 000 000	5.201 154 112	160 420 346	5.605
2	160 420 346	5.334 890 197	156 398 897	2.957
3	156 398 897	5.342 697 274	156 170 358	2.807
4	156 170 358	5.343 154 378	156 156 997	2.798
5	156 156 997	5.343 181 149	156 156 215	2.798
6	156 156 215	5.343 182 715	156 156 169	2.798
7	156 156 169	5.343 182 807	156 156 166	2.798
8	156 156 166	5.343 182 813	156 156 166	2.798

同样地，由表12和表13可看出，迭代初值的选择不影响VRRLT-APGR方法的计算精度，最终的储量估计值都会稳定在156 156 166 m³；通常在迭代3次之后便可终止计算过程，因为此刻前后2次计算的储量值相差已小于1%，此时的计算误差分别为2.743%、2.807%。表11—表13的计算结果表明，VRRLT-APGR方法对于产量、流压发生轻微波动的情形也是适用的。

5 现场实例验证

5.1　实例1

图6显示某气井B某时间段内的产量、流压数据；由于生产历史较长，不建议从生产之初计算拟时间，故将该数据范围的时间从零算起，那么相应的p _i=41.596 MPa；另外，地层温度T=389.15 K，气体拟临界压力p _pc=4.61 MPa，拟临界温度T _pc=200.33 K，气体摩尔质量M _g=19.268 256 g/mol，岩石压缩系数C_ϕ=2.395×10^-3 MPa^-1，束缚水压缩系数C _w=4.41×10^-4 MPa^-1，原始束缚水饱和度S _wci=0.28。

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图6 气井B的生产数据

Fig.6 Production data of the gas Well B

如图7所示，该气井（p _i－p _wf）∙q ^-1—t关系曲线的斜率为1.183 434 841×10^-4 MPa∙（10⁴ m³）^-1，由此斜率反求的储量为46.062 240 820×10⁸ m³，将此值作为迭代初值，利用VRRLT-APGR方法计算气藏储量，图8显示了迭代结束时的（Δp_p）_i-wf∙q ^-1—t _ca关系曲线，具体结果如表14所示。迭代初值为其他选择的计算结果见表15和表16。从中可观察到，迭代初值的选择不影响VRRLT-APGR方法的计算精度，最终的储量估计值都会稳定在43.730 125 182×10⁸ m³。实际上，在迭代2次之后便可终止计算过程，因为此时前后2次计算的储量值相差（E _e）已很小。

E e = G e - G a G a × 100 %

（45）

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图7 气井B的(p _i－p _wf)∙q ^-1—t关系曲线

Fig.7 (p _i－p _wf)∙q ^-1 vs t for the gas Well B

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**图8 气井B的(Δp_p)_i-wf∙q ^-1—t _ca关系曲线**

Fig.8 (Δp_p)_i-wf∙q ^-1 vs t _ca for the gas Well B

表14 VRRLT-APGR方法对于现场实例1的计算结果（初值储量G _a=46.06×10⁸ m³）

Table 14 Estimation of gas in place using VRRLT-APGR method with an initial G _a=46.06×10⁸ m³ for field case 1

No.	G _a /(10⁸ m³)	m _bdf /[10^-4 MPa·(10⁴ m³)^-1]	G _e /(10⁸ m³)	E _e /%
1	46.062 240 820	1.246 314 231	43.738 295 917	-5.045
2	43.738 295 917	1.246 546 239	43.730 155 317	-0.019
3	43.730 155 317	1.246 547 093	43.730 125 358	0.000
4	43.730 125 358	1.246 547 098	43.730 125 182	0.000

表15 VRRLT-APGR方法对于现场实例1的计算结果（初值储量G _a=20×10⁸ m³）

Table 15 Estimation of gas in place using VRRLT-APGR method with an initial G _a=20×10⁸ m³ for field case 1

No.	G _a /(10⁸ m³)	m _bdf /[10^-4 MPa·(10⁴ m³)^-1]	G _e /(10⁸ m³)	E _e /%
1	20	1.252 039 704	43.538 284 343	117.691
2	43.538 284 343	1.246 567 369	43.729 414 067	0.439
3	43.729 414 067	1.246 547 173	43.730 122 551	0.002
4	43.730 122 551	1.246 547 098	43.730 125 182	0.000
5	43.730 125 182	1.246 547 098	43.730 125 182	0.000

表16 VRRLT-APGR方法对于现场实例1的计算结果（初值储量G _a=70×10⁸ m³）

Table 16 Estimation of gas in place using VRRLT-APGR method with an initial G _a=70×10⁸ m³ for field case 1

No.	G _a /(10⁸ m³)	m _bdf /[10^-4 MPa·(10⁴ m³)^-1]	G _e /(10⁸ m³)	E _e /%
1	70	1.244 823 953	43.790 658 518	-37.442
2	43.790 658 518	1.246 540 738	43.730 348 299	-0.138
3	43.730 348 299	1.246 547 072	43.730 126 095	-0.001
4	43.730 126 095	1.246 547 098	43.730 125 182	0.000
5	43.730 125 182	1.246 547 098	43.730 125 182	0.000

气井B的测压数据如表17所示；由传统物质平衡方法确定的g（p _ave）—G _p关系曲线如图9所示，估计的储量为41.162 862 797×10⁸ m³，而本文方法的计算结果与之接近，由此说明了该方法的可行性。

表17 B井的静压监测数据

Table 17 Surveillance data of static pressure for Well B

p _ave /MPa	G _p /(10⁴ m³)	Z(p _ave)	p∙Z ^-1 /MPa	g(p _ave) /MPa
52.55	11 123.556 0	1.210 7	43.402 9	43.089 4
48.36	30 055.464 1	1.165 4	41.496 7	40.594 4
46.39	43 701.602 2	1.144 5	40.534 4	39.378 3
43.81	58 452.073 3	1.117 5	39.202 6	37.738 2
43.08	63 817.906 6	1.110 0	38.810 0	37.263 6
42.53	68 770.783 7	1.104 4	38.509 3	36.902 8
40.16	84 851.192 2	1.080 6	37.163 5	35.314 1
39.71	89 551.114 0	1.076 2	36.898 3	35.005 9

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图9 传统物质平衡法确定的g(p _ave)—G _p曲线

Fig.9 g(p _ave) vs. G _p by general material balance method

5.2　实例2

图10显示了IBRAHIM^［38］和WANG^［14］使用的气井H-58的产量、流压数据。该气藏的原始地层压力p _i=96.526 602 MPa，地层温度T=366.483 3 K，取气体拟临界压力p _pc=4.6 MPa，拟临界温度T _pc=200 K，IBRAHIM^［38］给定的岩石压缩系数C_ϕ=8.702 264×10^-4 MPa^-1，束缚水压缩系数C _w=5.801 510×10^-4 MPa^-1，束缚水饱和度S _wci=0.2618。

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图10 气井H-58的生产历史

Fig.10 Gas Well H-58 production history

如图11所示，该气井（p _i－p _wf）∙q ^-1—t关系曲线的斜率为1.308 009 489×10^-2 MPa∙（10⁴ m³）^-1，由此斜率反求的储量为1.572 152 725×10⁸ m³，将此值作为迭代初值，利用VRRLT-APGR方法计算气藏储量，具体结果如表18所示。迭代初值偏离初始猜测值较远时的计算结果见表19和表20。从中可以看出，迭代初值的选择不影响VRRLT-APGR方法的计算精度；在前后2次计算的储量值相差（E _e）小于1%时即可终止计算，此时估计值均约为2.8×10⁸ m³。

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图11 气井H-58的(p _i - p _wf)∙q ^-1—t关系曲线

Fig.11 (p _i-p _wf)∙q ^-1 vs t for gas Well H-58

表18 VRRLT-APGR方法对于现场实例2的计算结果（初值储量G _a=1.57×10⁸ m³）

Table 18 Estimation of gas in place using VRRLT-APGR method with an initial G _a=1.57×10⁸ m³ for field case 2

No.	G _a /(10⁸ m³)	m _bdf /[10^-3 MPa·(10⁴ m³)^-1]	G _e /(10⁸ m³)	E _e /%
1	1.572 152 725	6.961 773 655	2.953 831 573	87.885
2	2.953 831 573	7.158 370 341	2.872 707 872	-2.746
3	2.872 707 872	7.271 062 747	2.828 184 482	-1.550
4	2.828 184 482	7.336 333 781	2.803 022 251	-0.890
5	2.803 022 251	7.374 358 167	2.788 569 034	-0.516
6	2.788 569 034	7.396 583 081	2.780 190 069	-0.300

表19 VRRLT-APGR方法对于现场实例2的计算结果（初值储量G _a=0.5×10⁸ m³）

Table 19 Estimation of gas in place using VRRLT-APGR method with an initial G _a=0.5×10⁸ m³ for field case 2

No.	G _a /(10⁸ m³)	m _bdf /[10^-3 MPa·(10⁴ m³)^-1]	G _e /(10⁸ m³)	E _e /%
1	0.500 000 000	4.756 352 061	4.323 461 881	764.692
2	4.323 461 881	6.015 309 487	3.418 594 982	-20.929
3	3.418 594 982	6.638 570 935	3.097 640 596	-9.388
4	3.097 640 596	6.976 487 423	2.947 601 792	-4.844
5	2.947 601 792	7.166 751 811	2.869 348 259	-2.655
6	2.869 348 259	7.275 900 567	2.826 303 993	-1.500
7	2.826 303 993	7.339 146 623	2.801 947 949	-0.862
8	2.801 947 949	7.376 000 407	2.787 948 169	-0.500

表20 VRRLT-APGR方法对于现场实例2的计算结果（初值储量G _a=10×10⁸ m³）

Table 20 Estimation of gas in place using VRRLT-APGR method with an initial G _a=10×10⁸ m³ for field case 2

No.	G _a /(10⁸ m³)	m _bdf /[10^-3 MPa·(10⁴ m³)^-1]	G _e /(10⁸ m³)	E _e /%
1	10.000 000 000	4.999 528 478	4.113 169 256	-58.868
2	4.113 169 256	6.128 931 771	3.355 218 755	-18.427
3	3.355 218 755	6.698 843 340	3.069 769 777	-8.508
4	3.069 769 777	7.010 077 021	2.933 478 015	-4.440
5	2.933 478 015	7.185 917 864	2.861 695 224	-2.447
6	2.861 695 224	7.286 973 433	2.822 009 304	-1.387
7	2.822 009 304	7.345 587 992	2.799 490 912	-0.798
8	2.799 490 912	7.379 762 217	2.786 527 021	-0.463

图12展示了3种不同迭代初值选择下的完整迭代过程，该图表明不同初值设定均会收敛至某一固定值，但迭代次数可能会受初值设定的影响，故推荐采用本文提出的初值选择策略。图13显示了迭代结束时的（Δp_p）_i-wf∙q ^-1—t _ca关系曲线，该曲线说明气井生产早期并未进入边界控制流，因为这部分数据点偏离了（Δp_p）_i-wf∙q ^-1—t _ca直线趋势。

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图12 不同初值下VRRLT-APGR方法对实例2的迭代过程

Fig. 12 Iteration processes of VRRLT-APGR method with different initial values for field case 2

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**图13 气井H-58的(Δp_p)_i-wf∙q ^-1—t _ca关系曲线**

Fig.13 (Δp_p)_i-wf∙q ^-1 vs t _ca for the gas Well H-58

IBRAHIM等^［38］的储量估计值为9.8 Bcf，即2.775 050 966×10⁸ m³，与上述估算结果一致。

6 结论

（1）基于天然气渗流数学模型和异常高压气藏物质平衡方程，考虑岩石孔隙和其中束缚水随地层压力下降而表现出的弹性作用，导出了一种利用生产数据估计气藏储量的迭代方法即异常高压气藏变产量探边测试法（VRRLT-APGR），该方法可应用于异常高压气藏，对常压气藏亦适用（令岩石和束缚水的压缩系数为零即可）。

（2）引入拟压力和拟时间函数，给出了新的综合压缩系数C _t的定义；VRRLT-APGR方法具有严格的理论依据，既考虑了岩石和束缚水的压缩性，也考虑了气体性质的变化和气井产量的波动。

（3）数值模拟结果验证了该方法的适用性和有效性。储量迭代初值可设定为由（p _i-p _wf）/q—t直线的斜率反求的储量，一般迭代2~3次之后便可满足精度要求，其计算误差不超过5%，可以满足工程需要。利用现场实例验证了该方法的可行性和实用性，推荐采用本文提出的初值选择策略。

（4）该方法对于迭代初值的选择不敏感，经数次迭代后储量估计值始终会稳定为一固定值，说明该方法是可靠的。

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Highlights

0 引言

1 气体渗流数学模型

1.1 气体渗流综合微分方程

1.2 气井定产量生产解

1.3 气井变产量生产解

图1 气井变产量生产示意

2 异常高压气藏物质平衡方程

3 异常高压气藏变产量探边测试法

4 数值模拟验证

表 1 气藏性质参数

图2 天然气体积系数(B g)和黏度（μ)随压力（p)的变化曲线

4.1 定产量模拟

表2 定产量生产计划

图3 定产条件下利用真实压力和真实时间得到的(p i－p wf)∙q -1—t关系曲线

表3 定产条件下VRRLT-APGR方法的计算结果（初值储量G a=1.638 288 93×108 m3）

表4 定产条件下VRRLT-APGR方法的计算结果（初值储量G a=0.5×108 m3）

表5 定产条件下VRRLT-APGR方法的计算结果（初值储量G a=3.0×108 m3）

4.2 定压力模拟

表6 定流压生产计划

图4 定流压条件下(p i－p wf)∙q -1－t关系曲线

表7 定压条件下VRRLT-APGR方法的计算结果（初值储量G a=1.267 563 60×108 m3）

表8 定压条件下VRRLT-APGR方法的计算结果（初值储量G a=0.5×108 m3）

表9 定压条件下VRRLT-APGR方法的计算结果（初值储量G a=3.0×108 m3）

4.3 复杂生产计划模拟

表10 复杂生产制度

图5 复杂生产条件下(p i－p wf)∙q -1—t关系曲线

表11 VRRLT-APGR方法对于复杂生产制度的计算结果（初值储量G a=1.421 871 78×108 m3）

表12 VRRLT-APGR方法对于复杂生产制度的计算结果（初值储量G a=0.5×108 m3）

表13 VRRLT-APGR方法对于复杂生产制度的计算结果（初值储量G a=3.0×108 m3）

5 现场实例验证

5.1 实例1

图6 气井B的生产数据

图7 气井B的(p i－p wf)∙q -1—t关系曲线

图8 气井B的(Δpp)i-wf∙q -1—t ca关系曲线

表14 VRRLT-APGR方法对于现场实例1的计算结果（初值储量G a=46.06×108 m3）

表15 VRRLT-APGR方法对于现场实例1的计算结果（初值储量G a=20×108 m3）

表16 VRRLT-APGR方法对于现场实例1的计算结果（初值储量G a=70×108 m3）

表17 B井的静压监测数据

图9 传统物质平衡法确定的g(p ave)—G p曲线

5.2 实例2

图10 气井H-58的生产历史

图11 气井H-58的(p i - p wf)∙q -1—t关系曲线

表18 VRRLT-APGR方法对于现场实例2的计算结果（初值储量G a=1.57×108 m3）

表19 VRRLT-APGR方法对于现场实例2的计算结果（初值储量G a=0.5×108 m3）

表20 VRRLT-APGR方法对于现场实例2的计算结果（初值储量G a=10×108 m3）

图12 不同初值下VRRLT-APGR方法对实例2的迭代过程

图13 气井H-58的(Δpp)i-wf∙q -1—t ca关系曲线

6 结论

参考文献

1.1　气体渗流综合微分方程

1.2　气井定产量生产解

1.3　气井变产量生产解

图2 天然气体积系数(B _g)和黏度（μ)随压力（p)的变化曲线

4.1　定产量模拟

图3 定产条件下利用真实压力和真实时间得到的(p _i－p _wf)∙q ^-1—t关系曲线

表3 定产条件下VRRLT-APGR方法的计算结果（初值储量G _a=1.638 288 93×10⁸ m³）

表4 定产条件下VRRLT-APGR方法的计算结果（初值储量G _a=0.5×10⁸ m³）

表5 定产条件下VRRLT-APGR方法的计算结果（初值储量G _a=3.0×10⁸ m³）

4.2　定压力模拟

图4 定流压条件下(p _i－p _wf)∙q ^-1－t关系曲线

表7 定压条件下VRRLT-APGR方法的计算结果（初值储量G _a=1.267 563 60×10⁸ m³）

表8 定压条件下VRRLT-APGR方法的计算结果（初值储量G _a=0.5×10⁸ m³）

表9 定压条件下VRRLT-APGR方法的计算结果（初值储量G _a=3.0×10⁸ m³）

4.3　复杂生产计划模拟

图5 复杂生产条件下(p _i－p _wf)∙q ^-1—t关系曲线

表11 VRRLT-APGR方法对于复杂生产制度的计算结果（初值储量G _a=1.421 871 78×10⁸ m³）

表12 VRRLT-APGR方法对于复杂生产制度的计算结果（初值储量G _a=0.5×10⁸ m³）

表13 VRRLT-APGR方法对于复杂生产制度的计算结果（初值储量G _a=3.0×10⁸ m³）

5.1　实例1

图7 气井B的(p _i－p _wf)∙q ^-1—t关系曲线

**图8 气井B的(Δp_p)_i-wf∙q ^-1—t _ca关系曲线**

表14 VRRLT-APGR方法对于现场实例1的计算结果（初值储量G _a=46.06×10⁸ m³）

表15 VRRLT-APGR方法对于现场实例1的计算结果（初值储量G _a=20×10⁸ m³）

表16 VRRLT-APGR方法对于现场实例1的计算结果（初值储量G _a=70×10⁸ m³）

图9 传统物质平衡法确定的g(p _ave)—G _p曲线

5.2　实例2

图11 气井H-58的(p _i - p _wf)∙q ^-1—t关系曲线

表18 VRRLT-APGR方法对于现场实例2的计算结果（初值储量G _a=1.57×10⁸ m³）

表19 VRRLT-APGR方法对于现场实例2的计算结果（初值储量G _a=0.5×10⁸ m³）

表20 VRRLT-APGR方法对于现场实例2的计算结果（初值储量G _a=10×10⁸ m³）

**图13 气井H-58的(Δp_p)_i-wf∙q ^-1—t _ca关系曲线**