0 引言
目前，大多数研究者主要通过室内大型物理实验研究射孔参数对于裂缝起裂、延伸的影响［5-7］。DANESHY［8］首次针对射孔井的水力压裂进行了物理实验模拟，实验结果表明先射孔后压裂将使地层破裂压力变小。同时还发现螺旋射孔方式要优于直线型射孔；射孔孔眼是影响裂缝方位极其重要的因素。RABAA［9］对水平井压裂中裂缝初始形态进行实验研究得出，除非水平井轴垂直最小主应力方向，否则裂缝通常不会与井轴在同一平面，同时水平井压裂容易形成多裂缝现象。1992年，RABAA又对水平井中非平面裂缝的扩展进行了实验研究，结果表明水平井压裂容易产生3种非平面裂缝：多条缝、转向缝以及T型缝。ZHANG等［10］通过大尺寸物理实验研究了不同射孔参数和不同水平应力对射孔水平井中裂缝的起裂、扩展以及几何形状的影响。
研究表明压裂后的裂缝几何形态会出现3种形式，分别为单平面裂缝、螺旋形裂缝以及多条平行裂缝。WANG等［11］通过大型射孔实验，研究了不同固定角度和交错角度组合下射孔过程中近井眼裂缝的形态、传播机理和扩展规律，探讨了不同类型非常规油气藏近井眼裂缝的控制方法，并提出了一种新型的交错固定射孔方法。
采用数值模拟手段研究射孔与裂缝起裂、扩展的报道则相对较少。ISPAS等［12］利用数值模拟研究了砂岩地层中井筒偏移和井筒方位角对裂缝扩展的影响，以及墨西哥湾深水油田中裂缝如何从单一平面裂缝过渡到非平面横向裂缝。ZHANG等［13］模拟了近井地带多条水力裂缝起裂与扩展过程。研究表明流体流动与岩石变形的耦合作用对裂缝在起裂、延伸以及再定位起着关键作用；在多裂缝扩展时，裂缝之间存在竞争扩展现象。ZHAO等［14］研究了射孔摩阻、射孔簇间距对多裂缝扩展的影响，研究提出了一种优化多裂缝均匀扩展的方案。刘泉声等［15］基于黏聚区域模型研究了页岩压裂过程中初始裂隙间距和长度对压裂后裂缝网络空间分布的影响。梁卫国等［16］针对煤层中裂缝的韧性断裂行为，基于黏聚区域模型以及Karihaloo多项式黏聚型本构方程拟合了煤体裂缝的断裂过程，得到了适用于煤体黏聚型裂缝模型本构关系的一般形式。张汝生等［17］、龚迪光等［18］利用黏聚区域模型研究了射孔方位、排量、压裂液黏度以及水平应力差对裂缝起裂、扩展的影响。
虽然前人针对射孔与裂缝起裂、扩展之间的内在机制已经开展过大量的实验以及数值模拟研究，但都未详细地描述射孔密度与每个孔眼裂缝起裂与扩展行为的动态变化过程，也少有研究者考虑到射孔密度与主、微裂缝数量以及裂缝复杂度之间关系。由于物理实验装置尺寸的限制、边界效应以及应力加载强度与实际地质环境存在很大差异等因素的影响，实验结果与真实结果也必然存在一定差异。考虑到当前研究的薄弱点以及物理实验方法的弊端，本文利用数值模拟手段，基于全局嵌入黏聚区域模型［图2（a）］，建立了耦合孔弹性变形的有限元模型［图1（b）］，用来模拟多孔眼水力裂缝的起裂与竞争扩展行为。着重讨论了射孔密度对裂缝起裂率、不同类型裂缝数量变化以及裂缝复杂度的影响。本文研究成果对完井、水力压裂的设计可以起到重要的指导作用。
1 数学模型
模型中，计算的核心数学方程包括3个部分，分别是裂缝扩展模型、牵引分离准则（判断裂缝扩展的断裂准则）以及耦合流体流动/地质力学模型。
1.1 裂缝扩展模型
式中： 为通过裂缝截面的体积流量，m3/s； 为裂缝的宽度，m； 为压裂液的黏度，mPa·s； 为沿裂缝方向的流体压力梯度，MPa。
裂缝内的流体法向滤失可以表示为：
黏聚单元中质量守恒方程可以表示为［22］：
1.2 牵引分离定律
在模拟裂缝形成过程中，裂缝的初始损伤起裂和扩展的判断准则无疑是最为重要的。该模型中牵引分离定律是基于黏聚区域模型，定义了裂缝尖端黏聚单元黏结性能的本构关系。在复杂的裂缝扩展中，由于水力裂缝与潜在的扩展路径（黏聚单元）相交后存在多种延伸模式［23］。所以需要通过采用二次公称应力准则来判断裂缝的起裂和延伸。在二次公称应力准则中，分析了正应力以及剪切应力的影响，并通过3个名义应力分量以及3个名义应力峰值来决定。这个准则可以表示为：
式中： 和 代表的是黏聚单元牵引达到极限时的位移分量，其大小由材料属性决定，可以通过实验方法测得。 代表有效位移，可以被定义为：
式中： 、 、 分别为法向位移分量、第一和第二剪切位移分量，m；在方程（6）中， 可以被定义为：
式中： 为材料的抗拉强度或抗剪强度，MPa，是由黏结单元材料参数计算得到的常数； 为混合模式断裂能，J/m2。黏聚单元如果断裂，根据断裂能理论可以对其损伤进行评价。Benzeggagh-Kenane断裂准则［27］确定了黏聚元素在断裂扩展过程中的损伤演化，可以被定义为：
1.3 流体流动与地质力学耦合模型
目前，在利用位移不连续方法、扩展有限元方法研究裂缝扩展的研究中，为了加强计算收敛性，大多把储层考虑为弹性体，即没有孔隙、无渗透性的弹性实体。如此考虑显然与实际储层特征不符，基于Biot孔弹性理论，本文中储层考虑为孔弹性介质，以体积虚功原理形式表示应力平衡方程［23］：
式中： 、 分别为有效应力和孔隙压力，MPa； 、 分别为虚应变率矩阵和虚流速； 、 分别为单位面积上的表面牵引力和单位体积上的体力，N； 为单位矩阵。
储层中流体渗流的连续性方程可以表示为：
式中： 为孔隙介质的体积变化率； 为流体质量密度，kg/m3； 为储层基质的孔隙度； 、 分别为在 、 轴方向的位置，m； 为液体相对于固体的平均速度。
2 模型验证
为了验证黏聚区域模型，本节建立一个如图3（a）所示的单裂缝扩展模型。模型的宽度为50 m，长度为100 m；应力差为3 MPa，注入排量为0.03 m³/s，其他输入参数参照表1所示。在模型建立中，为了不降低计算精度又尽量节约计算成本，对裂缝附近网格进行了加密。模型边界上分别施加定孔隙压力与定位移边界条件，即沿垂直于边界方向的位移为0，边界上的孔隙压力保持为初始值P 0。基于本文模型得到的裂缝开度分布结果如图3（a）所示。使用KGD模型的黏度主导解析解［30-31］与本文模拟结果进行对比，对比结果如图3（b）所示。图3（b）展示的是注入点出裂缝开度以及裂缝长度随时间的变化动态。对比结果表明KGD解析解与模拟结果十分吻合，验证了本文模型的准确性。
图3 KGD解析解与本文模型结果的对比Fig.3 Comparison between the KGD analytical solution and the model results in this paper |
表1 模型中主要的输入参数Table 1 Main input parameters in the model |
| 输入参数 | 值 |
|---|---|
| 孔隙度 | 0.1 |
| 初始孔隙压力/MPa | 10 |
| 基质抗张强度/MPa | 5 |
| 基质抗剪切强度/MPa | 20 |
| 岩石的拉伸临界断裂能/(J/m2) | 100 |
| 岩石的剪切临界断裂能/(J/m2) | 4 500 |
| 弹性模量/GPa | 10 |
| 泊松比 | 0.25 |
| 流体黏度/(mPa·s) | 1 |
| 流体比重/(KN/m3) | 9.8 |
| 滤失系数/[(m³/s)·Pa] | 1×10－14 |
| 摩擦系数 | 0.615 |
3 结果讨论与分析
3.1 模型建立
为了研究射孔密度对裂缝起裂、扩展影响，本文建立了5个单簇多孔眼水力压裂研究示例。表2为示例中的主要参数。每个例子都为一段中的一簇，一簇射孔范围为1 m；孔眼长度为0.5 m，在1 m范围内孔眼均匀、对称分布；孔眼是由初始宽度为0.005 m的无刚度黏聚单元构成。基于例5建立的物理模型示意图如图4（a），图4（b）为在有限单元内嵌入的黏聚单元，全局嵌入的黏聚单元构成了水力裂缝扩展的潜在路径。5个例子对应的射孔数量分别为2、4、8、12、16，边界条件如图4（a）所示。为了方便分析对应孔眼的起裂与扩展情况，每个孔眼都被编号，编号方式如图4（a）所示。在实际压裂过程中，压裂液在每个孔眼中的流量存在一定差异。但由于射孔段长仅为1 m，沿井筒的流体压力变化不大，所以假设分配到每个对称孔眼的流量相同（如图4（a）中所示：存在q 1+q 2=q 3+q 4=…； q 1+q 2+q 3+q 4+…=Q；q代表进入每个孔眼的流量；Q代表这个簇的总流量）。分配到对称的2个孔眼中的流量受质量守恒与应力平衡的影响。在建立物理模型时，为了不降低计算精度，在预制的孔眼处进行了网格加密。模型中主要的输入参数如表1所示。
3.2 射孔密度对裂缝起裂的影响
基于8孔、12孔、16孔例子得到的结果进行对比，结果如图6所示；另外整理了每个孔眼在不同时刻的起裂情况，结果如图7所示。图7中1代表对应的孔眼在此刻发生了起裂，0则代表闭合或未起裂。从图6与图7中可以看到，在压裂过程中，孔眼之间存在竞争起裂的关系。受应力干扰以及流体与应力平衡的影响，在不同时刻孔眼底部的起裂情况也不相同，主要表现出4种竞争起裂模式：第一种，孔眼初期就起裂，并保持张开与扩展，如例2、例3、例4中的1号孔眼，例3、例4、例5中的2号孔眼等；第二种，孔眼至始至终都未曾起裂，如例4中的3号、5号孔眼；第三种，初期起裂扩展，然后又闭合，如例1中的2号与3号孔眼；第四种，初期未起裂，中后期才起裂，如例3中的6号孔眼以及例5中4号与12号孔眼。整理初始压裂时刻为2 s时的起裂率（发生起裂的孔眼数量与总孔眼数量之比）以及平均破裂压力，结果分别如图8（a）和图8（b）所示。从图8（a）中可看出，在注入流量总量相同条件下，受进入孔眼流量减小以及应力干扰增强的影响，随着射孔密度增加，孔眼的起裂率逐渐降低；图8（b）则反映出随着孔眼密度的增加，受孔眼摩阻降低的影响，平均破裂压力表现出逐渐降低的趋势。
图7 孔眼在不同注入时间的起裂与闭合情况Fig.7 Crack initiation and closure of each hole at different injection times |
3.3 射孔密度对裂缝扩展的影响
基于例3、例4、例5的结果，对其在12 s时的裂缝开度分布进行了对比，结果如图9所示；又分别统计在2 s、6 s、10 s时形成的裂缝条数，结果如图10所示；把所有损伤破裂的黏聚单元长度相加得到了每个例子形成的裂缝总长度，结果如图11所示。从图9可以看到，在初期虽然多个孔眼起裂形成了复杂裂缝，但到12 s时受应力阴影效应的影响，复杂的微裂缝通过合并或者闭合的方式演化为简单主裂缝，形成以明显非对称主裂缝与伴生次裂缝共同扩展的模式。图10的结果进一步证明了以上的结论。由于压裂液总量的限制以及裂缝间竞争扩展关系，初期形成的裂缝最多，中后期裂缝数量逐渐减少，最终形成以2~4条主裂缝为主、微裂缝为辅的扩展模式；另外，图10与图11反映出随着孔眼数的增加，形成的裂缝数量以及总长度都表现出先增加后减少的趋势，说明在一定范围内增加射孔密度可以增加裂缝的总长度与裂缝复杂度。
图9 在10 s时不同射孔密度对应裂缝扩展形态的比较Fig.9 Comparison of fracture propagation morphology with different perforation densities at 10s |
图10 5个实例在不同时刻的裂缝数量（基于孔眼底部的裂缝扩展情况进行统计）Fig.10 The number of fractures in five examples at different times (based on the fracture propagation at the bottom of the hole) |
3.4 排量、黏度、应力差对多孔眼裂缝起裂与扩展的影响
在压裂过程中，排量、黏度、应力差对多孔眼裂缝起裂以及扩展也具有重要影响。基于例4，图12—图14分别是在不同排量、不同压裂液黏度以及不同应力差条件下每个孔眼的起裂与扩展情况，并把不同时刻的情况进行了对比。为了便于分析，生成的主裂缝被标注为红色，伴生微裂缝则被标注为蓝色。从图12可以分析出，在2 s以及20 s时，随着排量的增加，孔眼的初始起裂率、主裂缝以及微裂缝数量都呈增加的趋势。这是因为在短时间内排量越大相对滤失量越小，裂缝内流体累积量越大，流体的造缝效率越高。图13则表明压裂液粘度与排量对孔眼初始起裂率、主裂缝以及微裂缝数量有着类似的影响趋势。导致这种结果的原因是由于黏度的增加，流体滤失量减小，流体造缝能力更强，所以裂缝数量增加。虽然黏度增加可以增加近井筒附近裂缝数量，但是裂缝深穿透性将降低，裂缝的波及范围也将减小。分析图14可知，随着应力差的增加，孔眼的初始起裂率、主裂缝以及微裂缝数量逐渐减小。当应力增加到6 MPa，注入时间为20 s时，微裂缝与主裂缝数量都显著减少；而当应力增加到9 MPa，注入时间为20 s时，微裂缝已经不存在，仅存2条主裂缝。可以看出应力差对裂缝起裂与扩展有着显著的影响。对比不同时刻的裂缝扩展情况，可知相比于注入初期（2 s），压裂到20 s时，受应力阴影的影响导致多数微裂缝闭合或者合并，总的裂缝数量逐渐减少，最终形成2~4条明显非对称主裂缝与微裂缝伴生的扩展模式。
图12 排量对多孔眼裂缝起裂与扩展的影响Fig.12 Influence of displacement on the initiation and propagation of multi-hole cracks |
图13 黏度对多孔眼裂缝起裂与扩展的影响Fig.13 Influence of viscosity on the initiation and propagation of multi-hole cracks |
4 结论
（1）压裂过程中，孔眼处裂缝起裂表现出竞争起裂的4种模式：第一，初期就起裂并维持张开；第二，孔眼张开但未曾起裂；第三，初期起裂扩展后又闭合；第四，初期未起裂中后期才起裂。
（2）随着射孔密度的增加，受进入孔眼流量降低、孔眼摩阻增加以及应力干扰的影响，孔眼的起裂率逐渐降低，平均破裂压力增加，但在一定程度可以增加近井筒附近的裂缝数量以及总长度，进而增加裂缝复杂度。
（3）排量、流体黏度以及应力差对多孔眼裂缝起裂与扩展具有显著影响。随着排量与黏度的增加，孔眼的初始起裂率以及形成的主裂缝以及微裂缝数量都成增加的趋势，而水平应力差的影响则与之相反。
（4）由于裂缝间的竞争扩展，最终形成以2~4条主裂缝为主、微裂缝为辅的裂缝扩展模式，就代表2条主裂缝的理想扩展模式并不准确。
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