考虑启动压力梯度的致密砂岩储层渗透率分形模型

摘要
关键词
引言
1 致密油藏孔喉分形特征
1.1 孔隙的分形特征
1.2 弯曲毛细管的分形
图1（Fig.1）
2 基于毛管渗流模型的渗透率分形公式推导
图2（Fig.2）
3 实例验证与应用
3.1 结果对比及误差分析
表1（Table 1）
3.2 敏感性因素分析
3.2.1 孔喉结构参数对渗透率的影响
图3（Fig.3）
表2（Table 2）
3.2.2 D_f对渗透率的影响
图4（Fig.4）
图5（Fig.5）
图6（Fig.6）
3.2.3 D_T对渗透率的影响
图7（Fig.7）
图8（Fig.8）
4 结论
参考文献

引用本文

Bai Ruiting,Li Zhiping,Nan Junxiang,et al. The fractal permeability model in tight sand reservoir accounts for start-up gradient[J].Natural Gas Geoscience,2016,27(1):142-148.[白瑞婷，李治平，南珺祥，等.考虑启动压力梯度的致密砂岩储层渗透率分形模型[J].天然气地球科学，2016,27(1):142-148.]
doi:10.11764/j.issn.1672-1926.2016.01.0142

考虑启动压力梯度的致密砂岩储层渗透率分形模型

白瑞婷¹，李治平¹，南珺祥²，赖枫鹏¹，李洪¹，韦青¹

（1.中国地质大学（北京）非常规天然气能源地质评价与开发工程北京市重点实验室，能源学院，北京100083；2.低渗透油气田勘探开发国家工程实验室，陕西西安710018）

作者简介：白瑞婷（1983-），女，山东聊城人，博士研究生，主要从事油气田开发理论方法研究.E-mail：ruitingwhite@163.com.

基金项目：国家科技重大专项课题“新一代油藏数值模拟软件”（编号：2011ZX05009-006）；中国石油长庆油田分公司科学研究与技术开发项目“致密油储层定量评价技术研究”（编号：技2014-18）联合资助.

摘要

渗透率是描述储层渗流能力的物性参数。利用孔隙结构参数估算储层渗透率的经验公式是建立在理想化模型基础上的。在致密砂岩储层中，由于孔隙度、渗透率较低，喉道细小，边界层作用比较显著，流体渗流阻力大，存在明显的非达西渗流特征。与岩心分析方法相比，利用这种常规计算方法得到的渗透率与岩心渗透率偏差较大，无法准确进行产能计算。基于分形理论，考虑了毛细管迂曲度的分形维数和流体的非线性流动特征，利用毛管渗流模型建立了启动压力梯度存在时的渗透率分形模型。结果表明渗透率为储层孔隙度φ，储层孔喉分形维数Df、毛细管迂曲度分形维数D_T以及最大孔喉半径r_max的函数，充分体现了储层微观孔隙结构和分形维数对渗透率的影响。通过与前人研究结果对比分析，新模型计算值相对误差较小，与实际岩心分析数据拟合趋势基本一致,表明新模型可以较好地预测致密油藏的渗透率。

关键词：渗透率孔隙度启动压力梯度分形维数迂曲度孔喉结构

中图分类号:TE122.2⁺3 文献标志码:A 文章编号:1672-1926(2016)01-0142-07

The fractal permeability model in tight sand reservoir accounts for start-up gradient

Bai Rui-ting¹，Li Zhi-ping¹，Nan Jun-xiang²，Lai Feng-peng¹，Li Hong¹，Wei Qing¹

（1.China University of Geosciences（Beijing）,Beijing Key Laboratory of Unconventional Natural Gas Geology Evaluationand Development Engineering,School of Energy and Resource,Beijing 100083,China;2.National Engineering Laboratory for Exploration and Development of Low-Permeability Oil ＆ Gas Fields,Xi’an 710018,China）

Abstract

Permeability is a key factor to reflect seepage ability of reservoirs.The empirical formula of using pore structure parameters to estimate reservoir permeability is based on the idealized model.Tight sandstone reservoirs are mainly characterized by small reservoir pores,fine throats,and high seepage resistance.These properties cause liquids to flow through such ultra-low permeability porous media,which has the characteristic of non-Darcy flow.Compared with core analytical method,there is a great deviation from real permeability using conventional computing method to get permeability of tight sandstone reservoirs,which is not suitable for productivity calculation.Based on the fractal theory and considering the fractal dimension for capillary tortuosity and nonlinear flow characteristics of liquids,a fractal permeability model is derived which considers threshold pressure gradient.Results show that the permeability is a function of porosity,fractal dimension for pore throat,capillary tortuosity and maximum radius of pore throat,which reflects the effects of microscopic pore structure and the fractal dimension on reservoir permeability.Compared with the previous work,the calculated results had less relative error and were consistent with core analysis results.The new model will be helpful to predict permeability of tight sandstone reservoirs.

Key words： Permeability; Porosity; Threshold pressure gradient; Fractal dimension; Tortuosity; Pore-throat structure;

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引言

渗透率是表征储集层渗流能力的关键参数。表征孔隙结构的参数如孔隙度、比表面、最大孔隙半径等与渗透率的关系对油气藏储层评价、产能计算有着重要的影响。致密砂岩储层成岩作用强，储层压实程度比较高，孔隙喉道细小，利用常规计算方法得到的渗透率与岩心渗透率偏差较大。国内很多学者^[1-3]针对如何利用合理地孔隙结构参数估算致密砂岩储层的渗透率做了大量的工作，基本模型还是Kozeny-Carman或者Timur模型，这些都是基于简单理想模型得到的。致密油藏孔隙结构的复杂性急需寻找一种新方法研究孔隙结构参数与渗透率的关系。目前分形理论已被广泛用于低渗透油藏的孔隙结构研究中。分形学认为多孔介质的孔喉空间分布具有统计自相似性，孔隙大小分布可以用分形方法描述^[4-6]。Yu等^[7]、李留仁等^[8]、刘俊亮等^[9]、郑斌等^[10]利用分形理论和毛管渗流模型建立了饱和多孔介质孔隙度和渗透率的分形关系。流体的性质在渗透率分形模型的建立过程中有着很重要的作用。致密油藏油水赖以流动的通道非常细微，边界层作用明显，启动压力梯度特征显著，这使其渗流不再遵循牛顿流体流动规律。文献[8]没有考虑毛细管的迂曲度和流体的非线性流动特征，文献[7]讨论的是牛顿流体和幂律性流体通过多孔介质的渗透率，他们的研究未能体现启动压力梯度的存在对渗透率的影响。本文针对致密油藏流体的流变性特点，基于分形理论，利用毛管渗流模型建立了存在启动压力梯度时的渗透率解析表达式，并结合油田岩心分析数据分析了敏感性参数对渗透率的影响。

1 致密油藏孔喉分形特征

分形几何理论创立于20世纪70年代初，可以较好地描述复杂的、不规则的现象和过程。

1.1 孔隙的分形特征

根据分形几何理论，若储层中孔隙半径大于r的孔隙的数目N(r)与r服从以下幂率关系^[11]:

N (a \geq r) = {(\frac{r_{\max}}{r})}^{D_{f}}

(1)

则称多孔介质微观孔隙分布具有分形特征。式中:N(r)为孔隙的数目；r为孔隙半径，μm；a为大于r的任意孔隙半径，μm；r_max最大孔隙半径，μm；D_f为分形维数，无量纲，1f<3。分形物体的数量十分巨大，根据统计理论和方法，认为式(1)是连续且可微的。因此有:

- dN = D_{f} r_{\max}^{D_{f}} r^{- (D_{f} + 1)} dr

(2)

1.2 弯曲毛细管的分形

储层岩石内部大量孔隙之间存在相互连通的通道，形成具有各个不同截面的弯曲毛细管束。因此流体在其中经过的是一系列弯曲路径，如图1所示。当流体通过随机且复杂的孔隙结构时，满足如下分形关系^[12-14]:

L_{T} (r) = (2 r)^{1 - D_{T}} L_{0}^{D_{T}}

(3)

式中:LT(r)为流体路径的实际长度，cm；L₀毛细管的特征长度，cm；DT为毛细管平均迂曲度的分形维数，无量纲，1T<3。 Yu等^[13]认为DT是毛细管的平均迂曲度T_av和平均毛细管半径r_av的函数:

D_{T} = 1 + \frac{{LnT}_{av}}{Ln (L_{m} / 2 r_{av})}

(4)

毛细管的平均迂曲度T_av^[11]:

T_{av} = \frac{1}{2} [1 + \frac{1}{2} \sqrt{1 - φ} + \sqrt{1 - φ} \sqrt{{(\frac{1}{\sqrt{1 - φ}} - 1)}^{2} + \frac{1}{4}} / (1 - \sqrt{1 - φ})]

(5)

平均毛细管半径r_av^[11]:

r_{av} = \frac{D_{f} r_{\min}}{D_{f} - 1}

(6)

式中:T_av为毛细管的平均迂曲度，无量纲；r_av为平均毛细管半径，无量纲. Lm为二维空间毛细管的特征长度^[12,13]:

L_{m} = {[\frac{1 - φ}{φ} \frac{π D_{f} r_{\max}^{2}}{(2 - D_{f})}]}^{\frac{1}{2}}

(7)

联立式(4)—式(7)即可求得二维空间里的毛细管平均迂曲度的分形维数。Costa^[14]认为二维和三维空间里孔隙的分形维数的数值差为1。因此可以得到三维空间毛细管平均迂曲度的分形维数。

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图1 流体通过多孔介质时毛细管的示意^[7]
Fig.1 The equilibrium diagram of fluid through capillary in porous media^[7]

2 基于毛管渗流模型的渗透率分形公式推导

实验表明，毛管半径减小就导致原油边界层厚度增加，边界层作用增强将会引起渗流流体性质的变化。原油在小于1μm的孔道所占比例很大的低渗透油层中流动时，原油边界层的影响显著，在流动过程中出现启动压力梯度^[15]。大量研究资料表明，启动压力梯度与渗透率成反比，渗透率越低，启动压力梯度越大。启动压力梯度的存在影响着流体的流动规律。原油在低渗透油层中流动时，存在某种启动压力梯度表示原油在渗流时呈现某种极限剪切应力值，李兆敏等^[16]认为当剪切应力大于极限剪切应力时，低渗透油藏流体流体流动与牛顿流体相同，致密油藏中的流体流动更是如此^[17,18]。本文公式推导模型假设条件如下: 取一块立方体岩石，边长为L₀，其物理意义如图1。岩石内部的孔隙由平行的弯曲毛细管束组成，毛细管的直径和长度分别满足分形幂规律(1)和(2)。视微小孔喉内流动的原油为非牛顿流体. 当流体恒速通过毛细管时，驱动力与剪切力平衡，如图2所示:

Δ p \times π r^{2} - (τ + μ \frac{dv}{dr}) \times 2 π {rL}_{T} (r) = 0

(8)

式中:Δp为毛细管两端的驱动压差，MPa；τ为极限剪切应力值，MPa；μ为流体的视黏度，mPa·s；v为流体渗流速度，cm/s；r为毛管半径，cm。对方程(8)整理积分得

v = \frac{Δ p}{2^{2 - D_{T}} L_{0}^{D_{T}} μ} \times \frac{r^{D_{T} + 1}}{D_{T} + 1} - \frac{τ_{0}}{μ} r

(9)

结合式(2)、式(9)和Hagen-Poiseue方程得到通过假想岩石的流量:

Q = \frac{π Δ p}{2^{1 - D_{T}} L_{0}^{D_{T}} μ} \times \frac{D_{f} r_{\max}^{D_{f}}}{(D_{T} + 1) \times (D_{T} + 3)} \times \frac{r_{\max}^{D_{T} + 3 - D_{f}}}{D_{T} + 3 - D_{f}} [1 - {(\frac{r_{\min}}{r_{\max}})}^{D_{T} + 3 - D_{f}}] - \frac{2 π τ D_{f} r_{\max}^{D_{f}} \times r_{\max}^{3 - D_{f}}}{3 μ \times (3 - D_{f})} [1 - {(\frac{r_{\min}}{r_{\max}})}^{3 - D_{f}}]

(10)

式中:Q为通过边长为L₀的立方体岩石的流量，cm³/s；实践表明，通常多孔介质中的孔隙大小满足:r_min/r_max<10^-2，0T-D_f+3<3，0<3-D_f<2，(r_min/r_max)^DT-Df+3∝0，(r_min/r_max)^3-Df∝0，因此式(10)可简化为:

Q = \frac{π}{2^{1 - D_{T}}} \times \frac{A}{L_{0} μ} \frac{L_{0}^{1 - D_{T}}}{A} \frac{D_{f}}{(D_{T} + 1) \times (D_{T} + 3)} \times \frac{r_{\max}^{D_{T} + 3}}{D_{T} + 3 - D_{f}} [Δ p - \frac{2^{2 - D_{T}} τ L_{0}^{D_{T}} μ \times (D_{T} + 1) \times (D_{T} + 3) \times (D_{T} + 3 - D_{f})}{3 μ \times (3 - D_{f}) \times r_{\max}^{D_{T}}}]

(11)

由达西定律可得考虑启动压力梯度存在时的地层渗透率:

K = \frac{π}{2^{1 - D_{T}}} \times \frac{L_{0}^{1 - D_{T}}}{A} \frac{D_{f}}{(D_{T} + 1) \times (D_{T} + 3)} \times \frac{r_{\max}^{D_{T} + 3}}{D_{T} + 3 - D_{f}}

(12)

式中:K为储层渗透率，10^-3μm²；A为储层横截面积，cm²。立方体岩石内部的孔隙总体积可表示为^[19]:

V_{p} = - \int_{r_{\min}}^{r_{\max}} β \times r^{3} \times dN (r) = β \times D_{f} \times \frac{r_{\max}^{3}}{3 - D_{f}}

(13)

式中:Vp为立方体岩石的孔隙体积，cm³；β为与孔隙结构有关的常数，孔隙为立方体，β=1；孔隙为球体，β=4π/3。由孔隙度的定义^[20]:

φ = \frac{V_{p}}{L_{0}^{3}} = \frac{β \times D_{f} \times r_{\max}^{3}}{(3 - D_{f}) \times L_{0}^{3}}

(14)

式中:φ为储层孔隙度，小数。根据公式(13)可求得L₀，代入式(11)，可得到

K = \frac{π}{2^{1 - D_{T}} \times {[\frac{β \times D_{f}}{(3 - D_{f}) \times φ}]}^{\frac{D_{T} + 1}{3}}} \times \frac{D_{f}}{(D_{T} + 1) \times (D_{T} + 3)} \times \frac{r_{\max}^{2}}{D_{T} + 3 - D_{f}}

(15)

从式(15)可以看出，渗透率的解析表达式为储层孔隙度φ，储层孔喉分形维数D_f、毛细管迂曲度分形维数DT以及最大孔喉半径r_max的函数，充分体现了储层微观孔隙结构和分形维数对渗透率的影响。分形维数D_f和r_max可利用分形理论和毛管压力曲线法得到^[21-23]，DT值由式(4)获得。

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图2 一微元段中的宾汉流体力学平衡示意
Fig.2 The equilibrium diagram of Bingham Fluid in micro element

3 实例验证与应用

XF油田长7油层组储层主要为陆相碎屑岩沉积，岩性复杂，以粉细砂岩为主，该类油藏储层物性横向上变化大，非均质性强，孔喉细微，孔隙结构较复杂。平均孔隙度为9.1%，平均渗透率为0.102 7×10^-3μm²，属于细孔微细喉道类型，为典型的致密油藏^[24,25]（表1）。

3.1 结果对比及误差分析

本文中表征储层微观孔隙结构复杂性的分形维数D_f值范围在2.16～2.741之间，平均为2.485 3；描述毛细管迂曲程度的分形维数DT取值范围在2.369～2.786之间，平均为2.573；最大孔喉半径范围在0.096～0.732μm之间，平均为0.29μm。根据表1数据分别利用式(15)，Yu等^[7],李留仁等^[8]计算得到的平均渗透率与岩心分析数据相比，式(15)计算值比较接近于岩心分析数据，绝对误差小于0.02×10^-3μm²，相对误差在15%以内；Yu等^[7]和李留仁等^[8]计算得到的平均渗透率值偏大，绝对误差大于0.1×10^-3μm²，相对误差大于55%，见图3和表2。利用式(15)计算得到的渗透率与孔隙度的拟合趋势和岩心分析的趋势基本一致，表明该公式可以较好地预测致密油藏的渗透率。

表1 岩心样品的物性参数及分形维数统计
Table 1 The physical parameters and fractal dimension statistical data

编号	样品编号	深度 /m	分形维数	孔隙度 /%	渗透率 /(×10^-3μm²)	分选系数
1	1-1	1 837.6	2.16	12.6	0.079	0.998 5
2	1-2	2 289.1	2.680 5	10	0.1	1.367 7
3	1-3	2 142.42	2.314 3	8.2	0.02	0.953 1
4	1-4	1 703.14	2.383 4	9.2	0.06	1.012 1
5	1-5	1 485.85	2.441 5	14.3	0.3	1.48
6	1-6	1 636.4	2.454 4	9.3	0.09	1.068 5
7	1-7	2 151.23	2.472	8.2	0.02	0.884 0
8	1-8	1 728.66	2.516 6	9	0.22	1.235 5
9	1-9	2 162.15	2.530 2	10.5	0.05	1.198 1
10	1-10	1 760.46	2.555 3	8.7	0.19	1.215 6
11	1-11	1 847.72	2.562 9	8	0.1	1.412 8
12	1-12	2 139.58	2.705 4	9.3	0.06	1.481 9
13	1-13	1 652.96	2.712	6.2	0.03	0.629 5
14	1-14	1 956.73	2.741	9.7	0.1	0.886 5
15	1-15	1 656.6	2.179 1	9.6	0.1	0.878 1
16	1-16	1 876.52	2.219 8	5.3	0.02	1.335 3
17	1-17	1 718.58	2.252	9.4	0.14	0.946 7
18	1-18	2 017.02	2.391	8	0.07	0.902 8
19	1-19	1 796.48	2.536 9	8.9	0.1	1.244 1
20	1-20	1 687.7	2.594 2	8.7	0.12	1.356 5
21	1-21	1 870.35	2.634 9	9.4	0.26	1.550 3
22	1-22	1 538	2.638 7	9.5	0.03	1.532 4

3.2 敏感性因素分析

3.2.1 孔喉结构参数对渗透率的影响

孔隙结构是指岩石所具有的孔隙和喉道的几何形状、大小、分布及其相互连通关系。孔喉结构参数是影响储层物性的主要因素，孔喉半径和喉道参数很大程度上决定了储层渗透率大小及油藏最终采收率。因此探讨孔喉结构参数对渗透率的影响对油田开发具有一定的指导意义。图4为本文公式计算得到的渗透率和孔隙度拟合关系与岩心分析趋势对比。孔隙度和渗透率整体拟合呈现一定的正相关关系，岩心分析相关系数为0.4，本文公式拟合相关系数为0.36。当渗透率小于0.15×10^-3μm²时，孔隙度在7%～10%之间分布较为集中，本文计算值和岩心分析结果法趋势基本一致。然而从图4中可以看出同样的孔隙度，渗透率差异比较大，生产中表现孔隙度基本相同，但产能差异很大。这与孔隙结构的非均质性有关，是孔隙结构差异性的一种具体表现。

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图3 不同方法渗透率和孔隙度关系对比
Fig.3 The relationship between the porosity and permeability in different methods

图5为最大孔喉半径r_max与渗透率的关系。在不同的区间内，渗透率与最大孔喉半径呈正相关关系，也是孔隙结构差异性的表现，表明微观结构参数差异是导致同样的孔隙度而渗透率差异很大的原因。

表2 不同计算方法平均渗透率对比结果
Table 2 Results of the calculated average permeability in different methods

	平均渗透率/(×10^-3μm²)	绝对误差/(×10^-3μm²)	相对误差/%
岩心分析	0.102 7
本文公式	0.120 5	0.017 8	14.77
Yu等^[7]	0.239 9	0.137 2	57.19
李留仁等^[8]	0.268 9	0.166 2	61.8

3.2.2 D_f对渗透率的影响

根据分形几何原理，分形维数反映的是空间复杂性，孔隙结构的分形维数(D_f)可以用来表征储层的非均质性、孔喉分布及孔隙表面的粗糙程度等。分形维数较大的储层，其非均质性强，对应的孔隙度、渗透率往往较小^[26,27]。图6为分形维数与渗透率的关系。从图6中可以看出，渗透率与分形维数整体相关性较差，但是在不同的分形维数区间，渗透率与分形维数呈负相关，即在一定区间内，渗透率是分形维数的减函数，随着分形维数的增大而减小。无论是整体拟合还是局部拟合，本文公式拟合与岩心分析趋势吻合性都比较好。

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图4 渗透率和孔隙度关系
Fig.4 The relationship between the porosity and permeability

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图5 渗透率和最大孔喉半径关系
Fig.5 The relationship between the permeability and maximum radius of pore throat

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图6 渗透率和分形维数关系
Fig.6 The relationship between the permeability and dimension

分形维数的分区分布反映了致密油藏孔隙喉道分布的强非均质性，其数值的增加意味着岩石颗粒及其填充物在空间占有率上的提高和孔隙中大尺寸孔隙数量的剧减，微孔隙比例增加，导致储层的渗流能力降低。结合研究区最大孔喉半径范围，分析认为原油边界层的影响显著，在流动过程中将出现启动压力梯度。造成开发过程中相继出现了许多亟待解决的问题、如注水压力高、含水上升快、启动压力大等。这些问题都在不同程度上影响着油田的开发效果。

3.2.3 D_T对渗透率的影响

毛细管迂曲度分形维数(D_T)是毛细管半径r的函数。毛细管半径越小，毛细管的实际长度就越大，毛细管就越弯曲，D_T值也就越大。图7表明表征毛细管迂曲度分形维数和孔隙度呈负相关，即D_T随着孔隙度的减小而增大。表明储层的孔喉结构极其复杂，微小孔喉非常发育。图8 说明渗透率随着D_T增大而降低，储层的渗流能力

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图7 孔隙度和毛细管迂曲度分形维数关系
Fig.7 The relationship between the porosity and fractal dimension for tortuosity

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图8 渗透率和毛细管迂曲度分形维数关系
Fig.8 The relationship between the permeability and fractal dimension for tortuosity

特别差。这与研究区致密油藏细孔微细喉道型孔隙结构比较发育，实际生产水平低的情况一致。上述分析表明孔喉结构参数、分形维数、毛细管迂曲度都将对渗透率产生较大的影响，说明影响渗透率的因素是多方面的。相比较而言，孔喉结构参数、分形维数对致密油藏的渗流能力发挥着至关重要的作用。

4 结论

(1)考虑了致密油藏流体的非牛顿流体特点，基于分形理论和毛管渗流模型建立了存在启动压力梯度时的渗透率解析表达式。分形渗透率为储层孔隙度φ，储层孔喉分形维数D_f、毛细管迂曲度分形维数DT以及最大毛细管半径r_max的函数，充分体现了储层微观孔喉结构对渗透率的影响。 (2)与前人研究结果对比表明，通过本文公式计算得到的渗透率和孔隙度拟合趋势与岩心分析比较吻合，平均渗透率绝对误差小于0.02×10^-3μm²，相对误差在15%以内，预测精度较高。说明利用本文公式预测储层渗透率是可行的。 (3)敏感性因素分析表明致密油藏渗透率是受多因素控制的。相比较而言，孔喉结构参数、分形维数对致密油藏的渗流能力发挥着至关重要的作用。

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